Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

a Considere três plano α , β , γ que se interceptam numa reta r . Tomando o sistema linear formado pelas equações cartesianas destes planos, quais são os pontos e as nulidades da matriz de coeficientes e da matriz aumentada do sistema?

b A matriz

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

poderia ser a matriz de coeficientes do sistema acima (item a )? Como deveria ser a matriz de termos independentes, neste caso?

Passo 1

a Se pegarmos as equações dos 3 planos e jogarmos em um sistema teremos como solução desse sistema a interseção dos planos.

Sabendo disso vamos começar com a matriz de coeficientes.Como a interseção desses planos é uma reta, a solução do sistema tem que ter um grau de liberdade, logo, a dimensão do núcleo tem que ser 1 ! Então, pelo T N I :

dim ⁡ N A ⏟ 1 + dim ⁡ I m A = dim ⁡ D o m A ⏟ 3

dim ⁡ I m A = 2

Logo, a nulidade da matriz de coeficientes vale 1 e o posto da matriz de coeficientes vale 2 .

Como o sistema é consistente (tem solução) sabemos que a coluna que acrescentamos na matriz aumentada não altera a dimensão da imagem, pois ela é C L das que já estavam lá. Logo, a imagem continua igual a 2 na matriz aumentada. No entanto, a matriz ampliada tem 4 colunas, então, pelo T N I temos:

dim ⁡ I m A ⏟ 2 + dim ⁡ N A = dim ⁡ D o m A ⏟ 4

dim ⁡ N A = 2

Logo, para a matriz aumentada, a nulidade e o posto valem 2 .

Passo 2

b Escalonando A :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 → L 2 ← L 2 - 4 L 1 L 3 ← L 3 - 7 L 1 1 2 3 0 - 3 - 6 0 - 6 - 12 → L 3 ← L 3 - 2 L 2 1 2 3 0 - 3 - 6 0 0 0

Como a matriz possui duas linhas L I (já que não sumiram no escalonamento) ela também possui duas colunas L I . Logo, seu posto é 2 e, pelo T N I , sua nulidade vale 1 . Então sim, ela poderia representar o sistema do item a .

Passo 3

Agora para a matriz coluna de termos independentes, a única coisa que temos que garantir é que a última linha seja zerada no escalonamento! Caso contrário, o sistema não teria solução (mas nós sabemos que tem que ter!). Então:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c → L 2 ← L 2 - 4 L 1 L 3 ← L 3 - 7 L 1 1 2 3 0 - 3 - 6 0 - 6 - 12 a b - 4 a c - 7 a → L 3 ← L 3 - 2 L 2 1 2 3 0 - 3 - 6 0 0 0 a b - 4 a c - 7 a - 2 b + 8 a

Precisamos que:

c - 7 a - 2 b + 8 a = 0

a - 2 b + c = 0

a = 2 b - c

Logo, nossa matriz de termos independentes tem que ter a forma:

2 b - c b c

Resposta

a A nulidade da matriz de coeficientes vale 1 e o posto da matriz de coeficientes vale 2 . Para a matriz aumentada, a nulidade e o posto valem 2 .

b Sim. A matriz de termos independentes seria dada por:

2 b - c b c

Para qualquer b , c reais.