Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Seja C = A B , onde

A = 1 1 1 2 2 a , B = 1 2 2 4 3 b

Selecione a alternativa INCORRETA:

(a) Se C é sobrejetiva, então C é bijetiva

(b) Se a = 2 então C não é sobrejetiva

(c) Se C é injetiva, então b ≠ 6

(d) Se b ≠ 6 então C   é injetiva

Passo 1

Bom, meu primeiro passo vai ser calcular C :

C = A B

C = 1 1 1 2 2 a 1 2 2 4 3 b = 6 6 + b 6 + 3 a 12 + a b

Passo 2

Vamos lá, ser bijetiva é ser sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Então na letra a), ele ta dizendo que se a matriz é sobrejetiva, também vai ser injetiva.

Para ser injetiva, dim ⁡ ( N u c C ) = 0 e para ser sobrejetiva, a imagem deve ser igual ao contradomínio que nesse caso é o R 2 , logo, dim ⁡ I m C = 2 .

Opa, tamo falando de dimensão do núcleo, dimensão da imagem, o que isso lembra?? O TNI!

Vamos conferir ele então:

dim ⁡ ( N u c C ) + dim ⁡ I m C = 2

Queremos ver se a matriz for sobrejetiva, ou seja,   dim ⁡ I m C = 2 , ela também vai ser injetiva, dim ⁡ N u c C = 0 .

dim ⁡ ( N u c C ) + 2 = 2

dim ⁡ ( N u c C ) = 2 - 2 = 0

Provadíssimo.

Passo 3

Vamos para a b) Se a = 2 então C não �� sobrejetiva, vamos substituir a = 2 :

C = 6 6 + b 12 12 + 2 b

Para ser sobrejetiva, a imagem deve ser igual ao contradomínio que nesse caso é o R 2 . Assim, os vetores das colunas devem formar uma base de R 2 , para isso eles não podem ser múltiplos um do outro!

Mas a questão ta dizendo o contrário, ou seja, que nesse caso, a matriz não é sobrejetiva, assim, as colunas devem ser múltiplas uma da outra. Vamos ver o que acontece quando escolho os valores de b :

Se b = 0 :

  C = 6 6 12 12

Agora se b = 1 :

C = 6 7 12 14

E b = 3 :

C = 6 9 12 18

E isso vai sempre acontecer, ou seja, são sempre múltiplos e a alternativa é verdadeira.

Passo 4

Na letra c) ele diz que se C é injetiva, b ≠ 6

Vamos ver o que acontece quando b = 6 :

C = 6 12 6 + 3 a 12 + 6 a

Se a = 0 :  

C = 6 12 6 12

Se a = 1 :

C = 6 12 9 18

Se a = 2 :

C = 6 12 12 24

Acontece o mesmo que aconteceu com a = 2 ! Ou seja, nesse caso a matriz não vai ser sobrejetiva, pelo TNI, quando a matriz não é sobrejetiva, ela também não vai ser injetiva!

Nesses casos,   dim ⁡ I m C = 1

dim ⁡ ( N u c C ) + dim ⁡ I m C = 2

dim ⁡ ( N u c C ) + 1 = 2

dim ⁡ ( N u c C ) = 2 - 1 = 1 ≠ 0

Assim, para ser injetiva é preciso que b seja diferente de 6!

Passo 5

Por último, na letra d) ele ta falando que se b ≠ 6 a matriz vai ser injetiva. Vamos tentar achar um contraexemplo:

a = 2   e   b = 1

C = 6 6 + b 6 + 3 a 12 + a b = 6 7 12 14

Como vimos, essa matriz não é sobrejetiva e portanto não vai ser injetiva, mesmo com b ≠ 6 !

Resposta

(d)