Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.

Considere uma matriz elementar E , uma matriz que ao multiplicar uma outra matriz A , aplica uma operação elementar nela. Por exemplo, se você fizer E ⋅ A , é como se tivesse trocado duas linhas de lugar, por exemplo.

  1. O espaço gerado de v 1 , … , v n é o espaço coluna da matriz cujos vetores coluna são v 1 , … , v n
  2. O espaço coluna de uma matriz A é o conjunto solução de A x = b
  3. O conjunto de vetores linha não nulos de uma matriz A é uma base do espaço linha de A .
  4. Se E for uma matriz elementar m × m e A uma matriz m × n , então o espaço nulo de E A é igual ao espaço nulo de A
  5. Se E for uma matriz elementar m × m e A uma matriz m × n , então o espaço linha de E A é igual ao espaço linha de A
  6. Se E for uma matriz elementar m × m e A uma matriz m × n , então o espaço coluna de E A é igual ao espaço coluna de A

Passo 1

Letra a)

O espaço coluna de uma matriz que possui os vetores coluna v 1 , … , v n e exatamente o espaço gerado desses vetores, por definição. Verdadeira

Letra b)

Falso. Além de sabermos a definição de espaço coluna e vermos que é diferente, vamos pegar um exemplo:

1 2 3 4 5 6 ⋅ 1 1 = 7 8 9

Se o espaço coluna fosse esse conjunto solução, os vetores teriam duas coordenadas apenas, enquanto sabemos que ele é o espaço gerado dos vetores coluna da matriz, que possuem 3 coordendas. O que seria um absurdo! Além disso, sabemos que o sistema A x = b tem solução quando b pertence ao espaço gerado das colunas da matriz, ou seja, o espaço coluna e assim seria de novo uma incoerência, pois b que possui 3 coordeandas iria pertencer a um espaço gerado de vetores com 2 coordenadas!

Passo 2

Letra c)

Vamos pegar por exemplo uma mátria aleatória.

A = 1 0 0 1 2 3 2 0 0

Se seguirmos o enunciado uma base para o espaço linha seria:

1,0 , 0 , 1,2 , 3 , 2,0 , 0

O que é mentira pois temos dois vetores múltiplos. Logo a afirmativa é falsa. O correto seria falar que o conjunto dos vetores linha não nulos da matriz A , APÓS SER ESCALONADA, pois já teria sido eliminado os vetores que eram C L dos demais.

Letra d)

O espaço nulo é a solução do sistema A x = 0 . Logo como matrizes equivalentes, ou seja após serem escalonadas, possuem a mesma solução de um sistema então o espaço nulo de E A é igual ao de A . Verdadeiro.

Passo 3

Letra e)

Para achar uma base para o espaço linha devemos aplicar várias operações elementares na matriz e assim os vetores resultantes formam a nossa base. Entretanto, se soubéssemos antes quais vetores eram C L dos demais já poderíamos ter descoberto a base. Logo, após uma operação elementar a matriz continua tendo o mesmo espaço linha da matriz original.

Exemplo:

A = 1 0 0 1 2 3 2 0 0

Forma escalonada:

A = 1 0 0 0 2 3 0 0 0

O espaço linha seria:

1,0 , 0 , 0,2 , 3

Mas poderíamos ter descoberto antes, pois já sabíamos que o vetor ( 2 , 0,0 ) era descartável e poderíamos ter escolhido a base:

1,0 , 0 , 1,2 , 3

Já que:

0,2 , 3 = 1,2 , 3 - 1,0 , 0

Verdadeira

Passo 4

Letra f)

Vamos usar o exemplo anterior:

A = 1 0 0 1 2 3 2 0 0

Após uma operação elementar:

E A = 1 0 0 1 2 3 0 0 0

Espaço coluna de A :

s p a n 1,1 , 2 , 0,2 , 0 , 0,3 , 0

Espaço coluna de E A :

s p a n 1,1 , 0 , 0,2 , 0 , 0,3 , 0

Como podemos ver os espaços gerados são diferentes e portanto os espaços colunas também logo a afirmativa é falsa. Lembre que para achar uma base para o ESPAÇO COLUNA deve-se escalonar A T .

Resposta

V, F, F, V, V, F