Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Seja A uma matriz quadrada n × n . Lembrar que A 2 = A A . Pode-se afirmar que:

a   N u c A 2 ⊂ N u c A e I m A ⊂ I m A 2 .

b   N u c A 2 ⊂ N u c A e I m A 2 ⊂ I m A .

c   N u c A ⊂ N u c A 2 e I m A 2 ⊂ I m A .

d   N u c A 2 ⊂ N u c A e I m A ⊂ I m A 2 .

Passo 1

Bom, o I M facilitou nossa vida nessa né? As alternativas a e d são iguais, então na real temos só 3 alternativas. Mas não pense que tudo são flores não porque essa questão é bem complicadinha haha. Vamos lá:

Então vamos verificar o núcleo primeiro. Vou te propor uma coisa. Imagine que A é a matriz abaixo:

0 1 1 0 0 1 0 0 1

Agora vamos pegar a base canônica do R 3 e aplicar A nela:

ε = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 = e 1 , e 2 , e 3

A e 1 = 0

A e 2 = e 1

A e 3 = e 1 + e 2 + e 3

Vamos esquecer o e 3 porque ele não vai ser importante pra gente. Temos que o vetor e 1 = 1,0 , 0 está no núcleo de A . Além disso A aplicada ao vetor e 2 = 0,1 , 0 dá o vetor e 1 .

Passo 2

Tá, agora vamos aplicar esses dois vetores em A 2 :

A 2 e 1 = A A e 1 = A ∙ 0 = 0

A 2 e 2 = A A e 2 = A e 1 = 0

Opa reparou? Todos os vetores do núcleo de A naturalmente fazem parte do núcleo de A 2 pois eles zeram logo na primeira operação.

Além disso também fazem parte do núcleo de A 2 os vetores que A leva no seu núcleo! A leva e 2 no vetor e 1 (que está no seu núcleo), isso zera o segundo produto que fazemos. Então podemos dizer que o núcleo de A 2 tem todos os elementos do núcleo de A e mais alguns outros que não fazem parte do núcleo de A . Logo:

N u c A ⊂ N u c A 2

Só com isso já sabemos que a certa é a c mas vamos verificar a imagem também.

Passo 3

Vamos usar a mesma A :

0 1 1 0 0 1 0 0 1

Sabemos que a imagem de uma função é seu espaço coluna. No caso da nossa A esse espaço tem dimensão 2 concorda? Agora vamos ver A 2 :

0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 = 0 0 2 0 0 1 0 0 1

Então a imagem dela tem dimensão 1 . Opa! Chegamos à conclusão que:

dim ⁡ I m A = 2

dim ⁡ I m A 2 = 1

Como um espaço de dimensão x não pode conter um espaço de dimensão maior que x , só nos resta que:

I m A 2 ⊂ I m A

Então confirmamos que é a letra c .

Obs.: Essa é considerada uma questão difícil. O pulo do gato era pensar no contra exemplo certo para eliminar as alternativas erradas.

Resposta

Letra c