Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Seja A uma matriz 3 × 4 :

(a) É possível que N ( A ) seja a união de duas retas distintas de R 4 e I m ( A ) seja um plano de R 3

(b) É possível que N A seja { 0 → } e I m ( A ) seja um subespaço de dimensão 4

(c) É possível que N ( A ) seja uma reta de R 4 e I m ( A ) seja um plano de R 3

(d) É possível que N ( A ) seja um plano de R 4 e I m A seja um plano de R 3

Passo 1

Vamos analisar essa matriz, se ela é 3 × 4 , o nosso TNI vai ficar assim:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ ( N u c A ) = 4

Sendo que a imagem está contida no contradomínio, o R 3 e por isso deve ter dimensão menor ou igual a 3!

Vamos agora ver as opções.

Passo 2

(a) É possível que N A seja a união de duas retas distintas de R 4 e I m A seja um plano de R 3

Está opção é incorreta pois o núcleo é um subespaço vetorial do domínio e união de duas retas distintas nunca é um subespaço vetorial por não ser fechado para a soma!

Ou seja, ao somar dois vetores de retas distintas, o resultado pode não pertencer a nenhuma das retas:

(b) É possível que N A seja { 0 → } e I m ( A ) seja um subespaço de dimensão 4

Como vimos no passo 1, a imagem é um subespaço do R 3 , logo impossível que ela tenha dimensão 4! E consequentemente, pelo TNI, fica impossível que o núcleo tenha dimensão nula.

(c) É possível que N ( A ) seja uma reta de R 4 e I m ( A ) seja um plano de R 3

Nesse caso, não bateria com o teorema núcleo imagem:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ ( N u c A ) = 4

2 + 1 = 4

3 ≠ 4

(d) É possível que N ( A ) seja um plano de R 4 e I m A seja um plano de R 3

Essa está correta! Vamos conferir o TNI:

dim ⁡ I m A + dim ⁡ ( N u c A ) = 4

2 + 2 = 4

4 = 4

Resposta

(d)