Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Considere a matriz

A = 1 3 5 2 4 6

(a) D i m N u c A = 2 e D i m I m A = 2

(b) D i m N u c A = 1 e D i m I m A = 1

(c) D i m N u c A = 2 e D i m I m A = 1

(d) D i m N u c A = 1 e D i m I m A = 2

Passo 1

Uma forma de resolver essa questão é calcular na marra o núcleo e a imagem da matriz A e ver a dimensão de cada um deles.

Mas pra resolvê-la bem rapidinho vamos usar o Teorema Núcleo Imagem para matrizes!

Vamos lembrar o que ele diz.

Se a gente tem uma matriz A m x n , onde m é o número de linhas e n o número de colunas, temos o seguinte:

A matriz A é uma matriz A 2 x 3 (ela tem 2 linhas e 3 colunas). Então o n vale 3.

Então ficamos com isso:

D i m N u c A + D i m I m A = 3

Passo 2

Agora a gente escolhe o que vamos calcular: o núcleo ou a imagem da matriz!

Vamos calcular a imagem, já que pra isso a gente só vai precisar escalonar a matriz e ver quantas linhas zeram.

Vamos olhar a matriz de novo:

A = 1 3 5 2 4 6

Ela só tem duas linhas, então pra uma das linhas zerar, ela teria que ser múltipla da outra. E se a gente ver bem, a segunda não é múltipla da primeira.

Então, mesmo que a gente escalonasse, continuaríamos com 2 linhas sem zeros. Ou seja, teríamos 2 linhas LI. Então:

D i m I m A = 2

Passo 3

Agora é só substituir esse resultado no teorema e achar a dimensão do núcleo de A.

Fazendo isso:

D i m N u c A + 2 = 3

Então:

D i m N u c A = 1

Logo a resposta é a letra (d).

Resposta

(d) D i m N u c A = 1 e D i m I m A = 2