Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Seja A uma matriz 4 × 4 tal que o conjunto-solução de A x → = 1,2 , - 1 , - 2 é 1,2 , 3,4 + 1,1 , 1,1 e o de A x → = 3,1 , 2,4 é 2,1 , 1,4 + 1,1 , 1,1 . Estas informações não nos permitem concluir que:

( a ) O conjunto-solução de A x → = 3 , - 4,7 , 1 4 é 1 , - 4 , - 7 , - 4 + 1,1 , 1,1 .

( b ) O núcleo de A é 1 , 1,1 , 1

( c ) O conjunto-solução de A x → = 3 , - 4,7 , 15 é o conjunto vazio.

( d ) A imagem de A contém também vetores que não são gerados por 1 , 2 , - 1 , - 2 e 3,1 , 2,4 .

Passo 1

Vamos letra por letra:

Letra a

Repare que ele dá soluções gerais do sistema. Ou seja, uma solução particular somada com a solução do sistema homogêneo! Temos que:

A 1 2 3 4 = 1 2 - 1 - 2

A 2 1 1 4 = 3 1 2 4

E queremos achar o x → do sistema:

A x → = 3 - 4 7 14

Vamos começar tentando escrever 3 , - 4,7 , 14 em função de 1,2 , - 1 , - 2 e 3,1 , 2,4 :

3 , - 4,7 , 14 = a 1,2 , - 1 , - 2 + b 3,1 , 2,4

a + 3 b = 3 2 a + b = - 4 - a + 2 b = 7 - 2 a + 4 b = 14       I I I I I I I V

De I I I :

a = 2 b - 7

Substituindo em I :

2 b - 7 + 3 b = 3

5 b = 10

b = 2

Substituindo de volta em I I I :

a = 4 - 7 = - 3

Substituindo isso em I I e em I V para garantir que não existem equações incompatíveis:

2 - 3 + 2 = - 6 + 2 = - 4

- 2 - 3 + 4 2 = 6 + 8 = 14

Tudo OK. Então temos:

3 , - 4,7 , 14 = - 3 1,2 , - 1 , - 2 + 2 3,1 , 2,4

Agora vamos substituir os vetores:

A x → = - 3 A 1,2 , 3,4 + 2 A 2,1 , 1,4

A x → = A - 3 1,2 , 3,4 + 2 2,1 , 1,4

x → = - 3 1,2 , 3,4 + 2 2,1 , 1,4

x → = ( 1 , - 4 , - 7 , - 4 )

E como sabemos que 1 , 1,1 , 1 é solução do sistema homogêneo associado a A , temos que x → = 1 , - 4 , - 7 , - 4 + 1,1 , 1,1 como a afirmativa diz. Está correta.

Passo 2

Letra b

Para compensar o trabalho que analisar a a deu eles botaram essa mais tranquila haha. Como falamos no Passo 1, 1,1 , 1,1 é a solução do sistema homogêneo associado a A . E isso é exatamente o núcleo de A !! Então essa está correta também.

Passo 3

Letra d

Eu sei que agora era para ser a letra c , mas essa vai ajudar a gente daqui a pouco, vocês vão ver haha. Se liga, se o núcleo de A é 1,1 , 1,1 ele tem dimensão 1 . Como a matriz é 4 × 4 , pelo T N I , sua imagem terá dimensão 4 - 1 = 3 .

Logo, essa é verdadeira, a imagem de A contém também vetores que não são gerados por 1 , 2 , - 1 , - 2 e 3,1 , 2,4 , já que estes formam um plano apenas.

Passo 4

Letra c

Já sabemos que essa é incorreta (pois todas as outras estão certas :p), mas porque? Bom, ela é bem parecida com a letra b , então vamos fazer o mesmo procedimento. Vamos começar tentando escrever 3 , - 4,7 , 1 5 em função de 1,2 , - 1 , - 2 e 3,1 , 2,4 :

3 , - 4,7 , 1 5 = a 1,2 , - 1 , - 2 + b 3,1 , 2,4

a + 3 b = 3 2 a + b = - 4 - a + 2 b = 7 - 2 a + 4 b = 1 5       I I I I I I I V

Agora repara que a equação I I I e I V são incompatíveis! Se multiplicarmos I I I por 2 , teremos:

- 2 a + 4 b = 14

O que contradiz a equação I V ! Mas isso quer dizer que o sistema não tem solução? Não! É aí que entra a letra c .

Para o sistema ter solução, 3 , - 4,7 , 15 teria de pertencer a imagem de A , mas a imagem de A não é formada apenas por 1,2 , - 1 , - 2 e 3,1 , 2,4 ! Existe um outro vetor que não conhecemos que acrescenta mais uma dimensão na imagem. Então 3 , - 4,7 , 15 poderia fazer parte da imagem, e assim o sistema teria solução, mas como não conhecemos esse terceiro vetor não podemos afirmar nada. Por isso essa é falsa.

Essa ficou bem grandinha e tem bastante coisa teórica, mas não se desespere se não entendeu tudo de cara! Essa é uma questão extra então meio que é feita para ser mais difícil haha. Dá mais uma lida se não ficou tudo claro, e se mesmo assim não entender, pode pedir ajuda pelo megafone que a gente socorre haha.

Resposta

Letra ( c )