Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

Seja A uma matriz 5 × 7 cujo núcleo tem dimensão 2 . Pode-se afirmar que:

a   A imagem de A tem dimensão 3 .

b   A x → = b → tem infinitas soluções para todo b → .

c   0 → é a única solução de A x → = 0 → .

d   As linhas de A são linearmente dependentes.

Passo 1

Já sabe o que fazer né? T N I haha. Se a matriz é 5 × 7 então é T : R 7 → R 5 . Logo, pelo T N I :

dim ⁡ N u c A ⏟ 2 + dim ⁡ I m A = dim ⁡ R 7 ⏟ 7 ⇒ dim ⁡ I m A = 5

Isso já elimina a a que fala que a dimensão da imagem é 3 .

A c na verdade está falando que A é injetora, o que não é verdade já que a dimensão do núcleo é maior que 0 .

E a d diz que as linhas de A são linearmente dependentes. Mas lembre-se do seguinte, a dimensão do espaço coluna de uma matriz será sempre a mesma da dimensão do espaço linha!! E sabemos que o espaço coluna é a imagem certo? Que no caso tem dimensão 5 .

Isso quer dizer que o espaço linha da matriz tem dimensão 5 . E como nossa matriz tem 5 linhas, para gerar um espaço de dimensão 5 elas devem ser todas L I . Com isso eliminamos a d .

Dessa forma, a resposta tem que ser a b . De fato, se pensarmos na matriz como um sistema teríamos 5 equações e 7 variáveis. Como temos mais variáveis que equações ou o sistema terá infinitas soluções, ou não terá nenhuma. Mas é impossível o sistema não ter solução, pois ele é sobrejetivo! Sua imagem gera todo o contradomínio. Então essa realmente é a correta!

Resposta

Letra b