Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

A matriz A = 1 2 3 4 5 6 :

a   É bijetiva.

b É sobrejetiva.

c   É injetiva.

d   Não é nem sobrejetiva, nem injetiva.

Passo 1

Bom, vamos entender essa matriz antes. Ela é 2 × 3 , então ela leva vetores do R 3 em vetores do R 2 .

Vamos verificar se ela é sobrejetiva. Para isso, sua imagem deve ter a mesma dimensão de seu contradomínio, que no caso é 2 . Para que isso aconteça, precisamos que A tenha 2 colunas L I .

Bom, só olhando a primeira e a segunda coluna de A já vemos que isso é verdade. A terceira coluna será L D mas o que importa é que a imagem já pega o R 2 todo! Então ela é sobrejetiva. Agora resta saber se ela é injetiva também. Se for o caso ela será bijetiva.

Passo 2

Vamos usar o T N I :

dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A ⏟ 2 = dim ⁡ R 3 ⏟ 3 ⇒ dim ⁡ N u c A = 1

Opa, a dimensão do núcleo é maior que zero, então ela não é injetiva, então não é bijetiva. A alternativa correta é a b .

Resposta

Letra b