Exercícios Resolvidos de Resistência e Resistividade

Uma casca cilíndrica é feita de um material condutor de condutividade σ uniforme. As dimensões do cilindro estão indicadas na figura, onde L ≫ b > a . As superfícies interna e externa da casca com raios r = a e r = b , onde r é a distância até o eixo da casca cilíndrica, são duas equipotenciais mantidas a uma ddp igual a V por uma bateria, conforme a figura.

(a) Devido à simetria, a densidade de corrente é dada por J → = J r r ^ . Calcule J ( r ) como função de J ( a ) , suposta conhecida.

(b) Calcule o vetor E → ( r ) no interior da casca ( a < r < b ) como função de J ( a ) .

(c) Calcule a resistência da casca.

(d) Calcule o ponto J ( a ) em função de V ,   σ ,   a e b .

Passo 1

(a) A gente sabe que as cargas não são criadas e nem destruídas, portanto, podemos usar a conservação das cargas da seguinte maneira: A corrente I através de qualquer superfície cilíndrica S de raio r dentro da casca é a mesma.

Como J é a densidade de corrente elétrica:

J a   .   Á r e a a = J r   .   Á r e a ( r )

I = J a 2 π a L = J r 2 π r L   ⟹ J r = J a a r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(b) A lei de Ohm na forma vetorial nos diz que:

E → = 1 σ J →

Portanto, temos que a densidade da corrente está na direção radial, então:

E → = 1 σ J r r ^

E então, usando o resultado obtido na letra (a):

E → ( r ) = J a σ a r   r ^

Passo 3

(c) A diferença de potencial entre os raios a e b pode ser calculada da seguinte maneira:

∆ V =   - ∫ a b E r d r

Utilizando a resposta da letra (b), temos:

∆ V = - ∫ a b J a σ a r   d r = - J a a σ   ∫ a b 1 r d r

∆ V =   - J a a σ ln ⁡ b a

Lembrando que R I = V = | ∆ V | e que I = J A , obtemos

R = ∆ V I = ∆ V J a 2 π a L =

R = 1 2 π L σ ln ⁡ b a

(d) Cálculo de J(a):

J a = I 2 π a L = V R 1 2 π a L

E aplicando o resultado da letra (c):

J a = V σ a l n b a

Resposta

a) J r = J a a r

b) E → ( r ) = J a σ a r   r ^

c) R = 1 2 π L σ ln ⁡ b a

d) J a = V σ a l n b a

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