Exercícios Resolvidos de Resistência e Resistividade

Potencial Elétrico, Corrente e Resistores

Considere duas cascas cilíndricas condutoras coaxiais sendo que a casca interior possui raio R 1 e a exterior, raio R 2 . As cascas cilíndricas possuem comprimento L . O espaço entre as cascas é preenchido uniformemente com um material cuja resistividade é ρ . Entre os duas cascas é aplicada uma diferença de potencial tal que a corrente medida no dispositivo é I 0 .

As respostas dos itens abaixo deverão ser dadas em função apenas dos dados do problema que são R 1 , R 2 , I 0 , L , e ρ .

a ) Calcule o vetor densidade de corrente a uma distância r R 1 < r < R 2 do eixo dos cilindros.

b ) Determine o vetor campo elétrico entre os cilindros.

c ) Usando o campo elétrico obtido em ( b ) , calcule a diferença de potencial entre os cilindros.

d ) Calcule a resistência do sistema.

Passo 1

a ) Calcule o vetor densidade de corrente a uma distância r R 1 < r < R 2 do eixo dos cilindros.

A densidade de corrente está associada com a corrente através da relação:

J r = d I d A → I = ∫ S J r   d A

I = J r ∫ S d A

I = J r A

Onde A é a área por onde a corrente I 0 passa.

Analisando a figura, podemos ver que a corrente flui da superfície interna do cilindro para a superfície externa. Assim, A será a área lateral do cilindro de raio r   R 1 < r < R 2 , dada por A = 2 π r L .

Portanto:

I 0 = J r 2 π r L

J r = I 0 2 π r L

Novamente, como a corrente flui da superfície interna para a superfície externa, o vetor densidade de corrente terá direção radial, e o sentido será de dentro para fora. Assim:

J → r = I 0 2 π r L r ^

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Determine o vetor campo elétrico entre os cilindros.

O vetor campo elétrico e o vetor densidade de corrente estão associados por:

E → = ρ J →

Agora ficou fácil...

E → = ρ I 0 2 π r L r ^

Passo 3

c ) Usando o campo elétrico obtido em ( b ) , calcule a diferença de potencial entre os cilindros.

Por definição, a diferença de potencial é dada por:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

Onde R 1 < r < R 2 .

Δ V = - ∫ R 1 R 2 ρ I 0 2 π r L

Δ V = - ρ I 0 2 π L ∫ R 1 R 2 1 r

Substituindo os valores:

Δ V = - ρ I 0 2 π L ln ⁡ R 2 R 1

Passo 4

d ) Calcule a resistência do sistema.

Já temos a diferença de potencial e a corrente... agora ficou tranquilo pro nosso lado:

V = R I → R = V I

Substituindo V pela expressão que encontramos no item c e I por I 0 , teremos:

R = ρ I 0 2 π L ln ⁡ R 2 R 1 I 0

Finalmente:

R = ρ 2 π L ln ⁡ R 2 R 1

Resposta

a )

J → r = I 0 2 π r L r ^

b )

E → = ρ I 0 2 π r L r ^

c )

Δ V = - ρ I 0 2 π L ln ⁡ R 2 R 1

d )

R = ρ 2 π L ln ⁡ R 2 R 1

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