Exercícios Resolvidos de Resistência e Resistividade

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Enunciado

06) Um condutor cilíndrico de raio r , comprimento l e resistividade ρ tem uma resistência R . Este condutor é derretido e transformado num novo condutor, também cilíndrico, com 1 / 4 de seu comprimento original. A resistência do novo condutor é:

a) R / 16

b) R / 4

c) R

d) 4 R

e) 16 R

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos uma resistência R formada por um condutor cilíndrico de raio r , comprimento l e resistividade do material ρ .

Esse condutor é derretido e reorganizado com ¼ do seu comprimento inicial.

Nosso multímetro quebrou e precisamos saber qual será a nova resistência desse condutor.

Tem ideia de como podemos obter essa nova resistência? 🤔🤔

Lembra como calculamos a resistência de um material?

A resistência de um material é proporcional à sua resistividade e do seu comprimento e inversamente proporcional à sua área transversal, ou seja, como nosso condutor é um cilindro, sua área transversal é dado pela área da circunferência π r 2

R = ρ l A = ρ l π r 2

Então vamos encontrar uma reação entre a resistência inicial e a resistência final.

Entendeu? 😁

Passo 2

Nosso condutor foi derretido e reorganizado para ter um comprimento equivalente a ¼ do que tinha antes.

Essa informação é muito importante pois ela nos diz que o volume do condutor se manteve após a mudança. Ou seja

V i = V f

Pelo nosso condutor ser o cilindro, o seu volume é dado por V = π r 2 h , como inicialmente o raio é dado por r e o comprimento é dado por l , então

V i = π r ² l

Agora, após a transformação, l f será igual a l / 4 e vamos chamar o raio final de r f . Assim o volume final é dado por

V f = π r f 2 l f

Substituindo l f por l / 4

V f = π r f 2 l 4  

Fazendo V i = V f

π r 2 l =   π r f 2 l 4

Podemos simplificar π e l cortando dos dois lados

r 2 =   r f 2 1 4

Isolando r f em um lado, temos

r f 2 = 4 r 2

Tirando a raiz dos dois lados da equação

r f 2 = 4 r 2

Como a 2 = a e a b = a b , então

r f = 4 r 2

r f = 2 r

Assim vemos que além do comprimento l diminuir para ¼ do valor inicial, vemos que o raio do condutor dobra de comprimento.

Interessante, não é? 😎

Passo 3

Calculando a resistência da nova configuração, vamos obter

R f = ρ l f A f = ρ l f π r f 2

Substituindo l f por l / 4 e r f por 2 r , temos que

R f = ρ l / 4 π 2 r 2

R f = 1 4 ρ l π 4 r 2

R f = 1 16 ρ l π r 2

Mas o que é ρ l π r 2 ? Não é a resistência inicial do condutor? 🤔

Com isso, chegamos à conclusão que

R f = 1 16 R

Analisando as opções, vemos que a alternativa a) é exatamente o resultado que obtemos!

Então, segundo nossas contas, a alternativa a) está correta.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) R / 16

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