Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Passo 1

O que ele quer saber é se essa equação define y como função de x nas vizinhanças de ( 0 , 4 3 ) .

Vamos usar o teorema da função implícita. Então

X = x

X 0 = 0

Y = y

Y 0 = 4 3

F X , Y = F x , y = y 3 + x y + x 3 - 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve na equação

4 3 3 + 0 . 4 3 + 0 3 - 4 = 0

4 - 4 = 0

Beleza, ele serve porque F X 0 , Y 0 = ( 0,0 ) !

Passo 3

Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro F Y , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a y porque é F Y = F y

F Y = ∂ f 1 ∂ y = 3 y 2 + x

Passo 4

Agora temos que ver se D e t F Y ≠ 0 no ponto 0 , 4 3

det ⁡ F Y = 3 4 3 2 + 0 = 3 ∙ 4 2 3 ≠ 0

Show! Como ele é diferente de 0 podemos definir y em função de   x .

Pronto, verificamos as hipóteses do teorema da função implícita.

Passo 5

Agora para encontrar as derivadas de Y = y = g X = g ( x ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Então, primeiro temos que fazer F X

F X = ∂ f 1 ∂ x = y + 3 x 2

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa de F Y

F Y = 3 y 2 + x

F Y - 1 = 1 3 y 2 + x

Passo 7

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X = - F Y - 1 . F X

g ' X = ∂ y ∂ x = - 3 y 2 + x - 1 . y + 3 x 2

g ' X = ∂ y ∂ x = - 1 3 y 2 + x . y + 3 x 2 = - y + 3 x 2 3 y 2 + x

Resposta

∂ y ∂ x = - y + 3 x 2 3 y 2 + x

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