Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

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Enunciado

Use o teorema da função implícita para verificar que é possível resolver o sistema

x 2 + y 2 + x z + y w = 0 x w + y z + z 2 + w 2 = 0

Para variáveis z e w como funções de x , y perto do ponto x 0 , y 0 , z 0 , w 0 = ( 1,2 , 0,3 ) e calcule

∂ z ∂ x 1,2 , ∂ z ∂ y 1,2 , ∂ w ∂ x 1,2 ,   ∂ w ∂ y ( 1,2 )

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu esse sistema de equações aqui

x 2 + y 2 + x z + y w = 0 x w + y z + z 2 + w 2 = 0

E pediu para calcular essas derivadas aqui

∂ z ∂ x 1,2 , ∂ z ∂ y 1,2 , ∂ w ∂ x 1,2 ,   ∂ w ∂ y ( 1,2

Também temos que z e w como funções de x , y perto do ponto x 0 , y 0 , z 0 , w 0 = ( 1,2 , 0,3 )

Mas como fazer isso?

Pelo teorema da função implícita! Vamos considerar

F x , y , z , w = u x , y , z , w ,   v x , y , z , w

E daí fazer

u x , y , z , w = x 2 + y 2 + x z + y w

  v x , y , z , w = x w + y z + z 2 + w 2

Daí temos que

Δ x , y , z , w = ∂ u ∂ z ∂ u ∂ w ∂ v ∂ z ∂ v ∂ w

Para utilizar o teorema da função implícita esse determinante (aplicado no ponto precisa ser diferente de zero)

Depois de confirmado isso, vamos ao teorema!

∂ z ∂ x ( x , y ) ∂ z ∂ y ( x , y ) ∂ w ∂ x ( x , y ) ∂ w ∂ y ( x , y ) = - Δ x , y , z , w - 1 ⋅ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Que fica mais fácil e calcular pois é que o que temos!

Tranquilo?

Partiu começar? Relaxa vou fazer com você!

Passo 2

Vamos verificar que podemos usar o teorema! Seja

u x , y , z , w = x 2 + y 2 + x z + y w

  v x , y , z , w = x w + y z + z 2 + w 2

Vamos calcular Δ x , y , z , w = ∂ u ∂ z ∂ u ∂ w ∂ v ∂ z ∂ v ∂ w

Δ x , y , z , w = x y y + 2 z x + 2 w

Então Δ 1,2 , 0,3 = 1 2 2 7 . Calculando o determinante

det ⁡ Δ = 7 - 4 = 3 > 0

Beleza! Podemos usar o teorema!

Passo 3

O teorema nos diz que:

∂ z ∂ x ( x , y ) ∂ z ∂ y ( x , y ) ∂ w ∂ x ( x , y ) ∂ w ∂ y ( x , y ) = - Δ x , y , z , w - 1 ⋅ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Então vamos calcular as parciais de ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y , usando as mesmas definições do passo 2

u x , y , z , w = x 2 + y 2 + x z + y w

  v x , y , z , w = x w + y z + z 2 + w 2

Daí temos

∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = 2 x + z 2 y + w w z

E aplicar no ponto dado x 0 , y 0 , z 0 , w 0 = ( 1,2 , 0,3 )

∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = 2 7 3 0  

Tudo bem até aqui?

E por fim precisamos calcular o inverso do Δ (que achamos no passo 2 também)

Δ x , y , z , w - 1 = 1 2 2 7 - 1 = 1 3 7 - 2 - 2 1

Belezinha?

Passo 4

Nosso passo final é agrupar tudo isso de volta no teorema!

∂ z ∂ x ( x , y ) ∂ z ∂ y ( x , y ) ∂ w ∂ x ( x , y ) ∂ w ∂ y ( x , y ) = - Δ x , y , z , w - 1 ⋅ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Aplicado no ponto

∂ z ∂ x ( 1,2 ) ∂ z ∂ y ( 1,2 ) ∂ w ∂ x ( 1,2 ) ∂ w ∂ y ( 1,2 ) = - 1 3 7 - 2 - 2 1 ⋅ 2 7 3 0

Agora precisamos fazer aquele produto de matrizes e prontinho!

= - 1 3 7.2 - 2.3 7.7 - 2.0 - 2.2 + 1.3 - 2.7 + 1.0 = - 1 3 8 79 - 1 - 14

Portanto, comparando as localizações dos termos, obtemos as parciais!

∂ z ∂ x 1,2 = - 8 3

∂ z ∂ y 1,2 = - 49 3

∂ w ∂ x 1,2 = 1 3

∂ w ∂ y 1,2 = 14 3

Ufa! Terminamos!

Até a próxima!

Resposta

∂ z ∂ x 1,2 = - 8 3

∂ z ∂ y 1,2 = - 49 3

∂ w ∂ x 1,2 = 1 3

∂ w ∂ y 1,2 = 14 3