Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

11. A função z = z x , y , de classe C 1 , é dada pela equação f x y , z x λ = 0 ( λ ≠ 0 é um real fixo), onde f u , v é da classe C 1 e ∂ f ∂ v u , v ≠ 0 . Verifique que x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = λ z

Passo 1

Vamos organizar as informações contidas no enunciado. Repare o seguinte:

z = z x , y

Portanto z é uma função implícita de x , y .

Podemos definir o seguinte:

F x , y , z = f x y , z x λ

Na verdade é a mesma coisa, apenas coloquei de forma mais clara. Porém podemos escrever:

f x y , z x λ = f u , v

Substituindo na equação anterior temos:

F x , y , z = f u , v

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Passo 2

Calcular ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y

Usando o teorema da função implícita temos:

f ' = - F Y - 1 . F X

Onde f ' = ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y

F X = ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

F Y = ∂ F ∂ z

Lembrando sempre que X e Y são vetores. Nesse caso X = x , y , Y = z

Temos então, substituindo:

f ' = - F Y - 1 . F X

∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = - 1 ∂ F ∂ z ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

Ajeitando:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

Passo 3

Substituindo no lado esquerdo da equação x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = λ z , temos:

x - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z + y - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z = - 1 ∂ F ∂ z x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ y

Passo 4

Agora falta encontrar ∂ F ∂ x ,   ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z . Vamos nos lembrar de que:

F x , y , z = f u , v

Então, usando a regra da cadeia:

∂ F ∂ x = ∂ f u , v ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f u , v ∂ v ∂ v ∂ x

∂ F ∂ y = ∂ f u , v ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f u , v ∂ v ∂ v ∂ y

∂ F ∂ z = ∂ f u , v ∂ u ∂ u ∂ z + ∂ f u , v ∂ v ∂ v ∂ z

Calculando temos:

∂ F ∂ x = ∂ f ∂ u 1 y   + ∂ f ∂ v - z λ x λ + 1

∂ F ∂ y = ∂ f ∂ u - x y 2   + ∂ f ∂ v 0 = ∂ f ∂ u - x y 2  

∂ F ∂ z = ∂ f ∂ u 0   + ∂ f ∂ v 1 x λ = ∂ f ∂ v 1 x λ    

Passo 5

Substituindo em - 1 ∂ F ∂ z x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ y , temos:

- 1 ∂ F ∂ z x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ y = - 1 ∂ f ∂ v 1 x λ x 1 y ∂ f ∂ u + x ∂ f ∂ v - z λ x λ + 1 +   y - x y 2 ∂ f ∂ u

Não há nenhum problema ,pois o enunciado afirma: ∂ f ∂ v u , v ≠ 0

Ajeitando:

- x λ ∂ f ∂ v 0 + x ∂ f ∂ v - z λ x λ + 1 = x λ + 1 λ z x λ + 1 = λ z

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