Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

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Enunciado

(2) Considere f x , y = ( x 2 - x ) y + y 2 2 - 1 2 , definida em todo R 2 . Responda:

b) Considere a equação f x , y = 0 . O Teorema da Função Implícita se aplica à essa equação no ponto x , y = 0,1 ?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos que verificar se podemos aplicar o Teorema da Função Implícita no ponto 0,1 .

Tem ideia de como fazer isso? 👀

De maneira simplificada, para saber se podemos aplicar o Teorema nesse caso, é necessário aplicar a formulinha

∂ y ∂ x = - ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y

Assim, aplicamos o ponto a , b = 0,1 e se ∂ y ∂ x ≠ 0 , então f x , y = 0 define y como uma função de x perto do ponto a , b e a derivada dessa função é dada por ∂ y ∂ x .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro temos que obter as derivadas parciais de f

∂ f ∂ x = ∂ x 2 - x y + y 2 2 - 1 2   ∂ x = 2 x y - y

∂ f ∂ y = ∂ x 2 - x y + y 2 2 - 1 2   ∂ y = x 2 - x + y

Agora substituindo na equação ∂ y ∂ x , temos

∂ y ∂ x = - 2 x y - y x 2 - x + y

Por fim, aplicamos o ponto a , b = 0,1

∂ y 0,1 ∂ x = - 2 0 1 - 1 0 2 - 0 + 1

∂ y 0,1 ∂ x = 1

Como ∂ y 0,1 ∂ x ≠ 0 , então o Teorema é valido para esse caso!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∂ y 0,1 ∂ x = 1