Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Passo 1

A equação do plano é

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ ∇ F ' ( P 0 ) = 0

E da reta normal é

r t = P 0 + ∇ F ' ( P 0 ) ∙ t

Onde esse ∇ F ' ( P 0 ) é o gradiente da superfície que é gráfico de f ( x , y ) , calculado no ponto de tangencia.

No nosso caso, que

F ' = f x , y - z

P 0 = 0.5 ,   0.5 ,   f 0.5,0.5

Acontece que não sabemos a expressão de f ( x , y ) pra poder calcular o gradiente de F ' e f 0.5 ,   0.5 e aí ter o ponto de tangencia.

Mas, sabemos que o gráfico de f ( x , y ) está contido na superfície

x 2 + y 2 + z 2 = 1

E sabemos que   f 0.5,0.5 > 0 .

Então, podemos isolar o z na expressão acima e escrevê-lo em função de x , y :

z = 1 - x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular ∇ F ' :

F ' = f x , y - z

∇ F ' = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ,   - 1

Como sabemos que z = f x , y = 1 - x 2 + y 2 , podemos calcular essas derivadas parciais que faltam:

∂ f ∂ x = - 2 x 2 1 - x 2 + y 2 = - x 1 - x 2 + y 2

∂ f ∂ y = - 2 y 2 1 - x 2 + y 2 = - y 1 - x 2 + y 2

Assim:

∇ F ' = - x 1 - x 2 + y 2 , - y 1 - x 2 + y 2 ,   - 1

Substituindo no ponto P 0 = 0.5 ,   0.5 ,   f 0.5,0.5 :

∇ F ' = - 0.5 1 - 0.5 2 + 0.5 2 , - 0.5 1 - 0.5 2 + 0.5 2 ,   - 1

∇ F ' = - 1 2 2 2 , - 1 2 2 2 ,   - 1 = - 2 2 , - 2 2 , - 1

Passo 3

Agora falta calcularmos o ponto P 0 .

Então

P 0 = 0.5 ,   0.5 ,   f 0.5,0.5

z = f 0.5,0.5 = 1 - 0.5 2 + 0.5 2

f 0.5 ,   0.5 = 1 2

Racionalizando:

f 0.5 ,   0.5 = 2 2

Assim:

P 0 = 0.5 ,   0.5 , 2 2

Passo 4

Assim, o plano tangente é

x - 1 2 , y - 1 2 , z - 2 2 ⋅ - 2 2 , - 2 2 , - 1 = 0

- 2 2 x - 1 2 - 2 2 y - 1 2 - z - 2 2 = 0

- 2 2 x + 2 4 - 2 2 y + 2 4 - z + 2 2 = 0

- 2 2 x - 2 2 y - z + 2 = 0

2 2 x + 2 2 y + z = 2

Passo 5

E a reta normal é

r t = P 0 + ∇ F ' ( P 0 ) ∙ t

r t = 1 2 , 1 2 , 2 2 + - 2 2 , - 2 2 , - 1 ∙ t

r t = 1 2 - 2 2 t ,   1 2 - 2 2 t ,   2 2 - t  

Passo 6

Esse passo é só um obs.

Repara que se multiplicássemos o ∇ F ' = - 2 2 , - 2 2 , - 1 por - 2 , ficaríamos com

∇ F ' = 1,1 ,   2

Ou seja, a gente ia deixar o vetor gradiente “mais bonitinho” e não alteraríamos a direção dele, apenas o módulo, pois só teríamos multiplicado o vetor por um escalar - 2 .

E aí a gente teria a resposta igual da lista.

Mas a resposta que achamos aqui também está certa!!

Então, se você pensou como eu na hora de fazer a questão, você acertou.

E se você teve a sacada de multiplicar por - 2 pra deixar o vetor mais bonito e não ficar trabalhando com tantas frações e 2 , você também acertou!

Todo mundo acertou, uhul

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas