Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Passo 1

O enunciado já afirma pra gente que a equação

x 2 + z 3 - z - x y sen ⁡ z = 1

Define implicitamente z como uma função de x , y .

Então a gente já pode aplicar direito o teorema da função implícita pra calcular as derivadas que ele pede.

Antes, vamos definir quem é quem.

Temos que z é função de x , y , então:

X = ( x , y )

Y = z

F X , Y = x 2 + z 3 - z - x y sen ⁡ z - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora para encontrar a derivada de Y = z = g X = g ( x , y ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Primeiro, vamos fazer F X

F X = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y = 2 x - y sen ⁡ z - x sen ⁡ z

Passo 3

Agora, vamos calcular F Y = F z

F Y = 3 z 2 - 1 - x y cos ⁡ z

E sua inversa

F Y - 1 = 1 3 z 2 - x y cos ⁡ z - 1

Passo 4

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

g ' X 0 = ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = - 1 3 z 2 - x y cos ⁡ z - 1 ∙ 2 x - y sen ⁡ z - x sen ⁡ z

g ' X 0 = ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = - 2 x - y sen ⁡ z 3 z 2 - x y cos ⁡ z - 1 x sen ⁡ z 3 z 2 - x y cos ⁡ z - 1

Substituindo no ponto ( 1 , 1,0 ) :

∂ z ∂ x 1,1 , 0 = - 2.1 - 1 sen ⁡ 0 3 . 0 2 - 1.1 cos ⁡ 0 - 1 = 2 - 2 = - 1

∂ z ∂ y 1,1 , 0 = 1 sen ⁡ 0 3 . 0 2 - 1.1 cos ⁡ 0 - 1 = 0

Passo 5

Agora, a equação do plano tangente é

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ ∇ F ( P 0 ) = 0

Onde

P 0 = ( 1,1 , 0 )

F X , Y = F ( x , y , z ) = x 2 + z 3 - z - x y sen ⁡ z - 1

Passo 6

As derivadas parciais dessa função F nós já calculamos nos passos 3 e 4:

F z = 3 z 2 - 1 - x y cos ⁡ z

F x 1,1 , 0 = - 1

F y 1,1 , 0 = 0

Substituindo P 0 em F z :

F z 1,1 , 0 = 3 . 0 2 - 1.1 cos ⁡ 0 - 1 = - 2

Assim

⋅ ∇ F ( P 0 ) = - 1,0 , - 2

Passo 7

Substituindo tudo na equação do plano tangente:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ ∇ F ( P 0 ) = 0

x - 1 , y - 1 , z - 0 ⋅ - 1,0 , - 2 = 0

- x - 1 + 0 y - 1 - 2 z - 0 = 0

- x - 2 z = - 1

z = 1 - x 2

Resposta

z = 1 - x 2

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