Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

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Enunciado

Seja f ( u ,   v ) uma função real de classe C 1 tal que ∂ f ∂ v u , v ≠ 0 , 0. Suponha que a função real z = z ( x , y ) , de classe C 1 , é definida implicitamente pela equação f x y , z x λ = 0 , onde λ é uma constante não nula. Verifique que z ( x , y ) satisfaz a equação diferencial em derivadas parciais x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = λ z

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu uma função z = z ( x , y ) de classe C 1 (primeira derivada contínua) e que é definida implicitamente pela função

f x y , z x λ = 0

E pediu para verificarmos essa propriedade aqui

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = λ z

Mas como fazer isso?

Precisamos utilizar o teorema da função implícita! Ele nos diz que as derivadas parciais de z em relação à x e à y são

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z

Mas quem seria essa F ? Seria a função f que é definida de forma implícita! Então para calcular aquelas derivadas ali, precisamos da regra da cadeia!

Tranquilo?

Partiu começar?

Passo 2

Considerando F = f = ( u , v ) , a parcial F em relação à x fica

∂ F ∂ x = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x  

E em relação à y :

∂ F ∂ y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

E em relação à z

∂ F ∂ z = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ z + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ z

Temos que f x y , z x λ = f u , v = 0

Então podemos calcular as parciais de u e v em relação a x , y , z :

∂ u ∂ x = 1 y , ∂ u ∂ y = - x y 2 , ∂ u ∂ z = 0

∂ v ∂ x = - λ z x λ + 1 , ∂ v ∂ y = 0 , ∂ v ∂ z = 1 x λ

Beleza?

Passo 3

Agora vamos calcular ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y : pegando as definições do passo 1 com as derivadas que achamos no passo 2 temos:

∂ z ∂ x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z = - ∂ f ∂ u . 1 y - ∂ f ∂ v . - λ z x λ + 1 ∂ f ∂ v . 1 x λ  

Mas queremos essa parcial multiplicada por x na demonstração:

→ x ∂ z ∂ x = - ∂ f ∂ u . x y + ∂ f ∂ v . λ z x λ ∂ f ∂ v . 1 x λ

Beleza? Agora vamos fazer de forma análoga para a derivada parcial em y :

∂ z ∂ y = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z = - - ∂ f ∂ u . x y 2 ∂ f ∂ v . 1 x λ

Mas queremos essa quantidade multiplicada por y na demonstração

�� y ∂ z ∂ y = ∂ f ∂ u . x y ∂ f ∂ v . 1 x λ

Tudo bem até aqui? Vamos guardar esses resultados das setinhas!

Estamos quase lá!

Passo 4

Agora vamos somar aqueles resultados que guardamos do passo anterior:

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = - ∂ f ∂ u . x y + ∂ f ∂ v . λ z x λ ∂ f ∂ v . 1 x λ + ∂ f ∂ u . x y ∂ f ∂ v . 1 x λ

Podemos separar em dois o primeiro termo da direita e simplificar

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = - ∂ f ∂ u . x y ∂ f ∂ v . 1 x λ + ∂ f ∂ v . λ z x λ ∂ f ∂ v . 1 x λ + ∂ f ∂ u . x y ∂ f ∂ v . 1 x λ

Assim temos

x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = ∂ f ∂ v . λ z x λ ∂ f ∂ v . 1 x λ

Como ∂ f ∂ v ≠ 0 (pois f função de classe C 1 ), então

x �� z ∂ x + y ∂ z ∂ y = λ z

Como o problema queria que demonstrássemos!

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o