Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 2a.

Considere

y x - 2 3 + x e y - 1 = 0

É possível, pelo Teorema da Função Implícita, garantir que esta equação define implicitamente uma única função y = f ( x ) , com x numa vizinhança de x 0 e y numa vizinhança de y 0 , quando x 0 , y 0 = ( 1,1 ) ?

Passo 1

Opa, o que temos que fazer aqui é verificar as hipóteses do Teorema da Função Implicita.

Vamos lá a primeira coisa a fazer é identificar quem é o vetor X e quem é o vetor Y .

Como ele quer y em função de x

X = x

O resto vai ser do vetor Y

Y = y

Assim também temos X 0 e Y 0

X 0 = x 0 = 1

Y 0 = y 0 = 1

Vamos identificar também nosso F ( X , Y ) :

F X , Y = F x , y = y x - 2 3 + x e y - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve a equação né?

1 1 - 2 3 + 1 . e 1 - 1 = - 1 + 1.1 = 0

Beleza, ele serve porque F X 0 , Y 0 = 0 !

Passo 3

Para vermos se a equação define implicitamente y como uma função de x , precisamos achar primeiro F Y . Ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a y porque é F Y = F y

F Y = ∂ f 1 ∂ y = 1 . x - 2 3 + x e y - 1 . 1 = x - 2 3 + x e y - 1

Passo 4

Agora temos que ver se D e t F Y ≠ 0 no ponto 1,1

det ⁡ F Y = 1 - 2 3 + 1 . e 1 - 1 = 0

Ihh, o determinante de F Y deu zero. E agora?!

Relaxa, isso significa que F Y pode ou não ser inversível. Assim, nada se pode afirmar sobre a possibilidade da equação definir uma função y = f ( x ) .

Resposta

Não podemos afirmar nada.

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