Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Se x = x u , v e y = y u , v são dadas implicitamente pelo sistema:

u = x + y v = y x ,     x ≠ 0

Mostre que:

1 + y x ∂ x ∂ u = 1

Passo 1

Para mostrarmos isso que ele pediu temos que achar ∂ x ∂ u , e para achar ele vamos usar o teorema da função implícita.

A primeira coisa a fazer é determinar o vetor X e o vetor Y . O vetor X vai ser aquele que você está em função, neste caso:

X = u , v

E Y é o resto

Y = x , y

Vamos ter:

F x , y , u , v = f 1 , f 2 = u - x - y ,   v - y x

Repara que eu joguei tudo pra esquerda nas duas equações, assim vamos ter que F x , y , u , v = 0,0 em qualquer ponto. Então podemos continuar. Definido tudo que precisamos, vamos as contas!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que temos que fazer para ver se podemos definir implicitamente é fazer F Y e ver se ela é diferente de 0 no ponto que ele deu.

F Y = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y = - 1 - 1 y x 2 - 1 x

Não precisamos verificar que ele é definido implicitamente, isso porque ele já disse que é no enunciado!

Passo 3

b) Para achar a derivada, temos que achar agora F X :

u - x - y ,   v - y x

F X = ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v = 1 0 0 1

Passo 4

Vamos ter agora:

g ' X 0 = - F Y - 1 ∙ F X

g ' X 0 = - - 1 - 1 y x 2 - 1 x - 1 ∙ 1 0 0 1

Como multiplicar pela matriz identidade I resulta nela mesma:

g ' X 0 = - - 1 - 1 y x 2 - 1 x - 1

E logo, usando álgebra linear vamos ter que:

g ' X 0 = - 1 1 x - - y x 2 ∙ - 1 x 1 - y x 2 - 1

g ' X 0 = - 1 x + y x 2 ∙ - 1 x 1 - y x 2 - 1 = - x 2 x + y ∙ - 1 x 1 - y x 2 - 1

g ' X 0 = x x + y - x 2 x + y y x + y x 2 x + y

Lembrando que:

g ' X 0 = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

O que nos interessa é:

∂ x ∂ u = x x + y

Passo 5

Substituindo na equação que ele pediu vamos ter:

1 + y x ∂ x ∂ u = 1

1 + y x x x + y = 1

x + y x x x + y = 1

1 = 1

E realmente vamos ter aquela afirmação que ele deu.

Resposta

Prova por demonstração

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