Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Passo 1

Vamos lá a primeira coisa a fazer é identificar quem é o vetor X e quem é o vetor Y .

Como ele quer tudo em função de x e y

X = x , y

O resto vai ser do vetor Y

Y = z

Assim também temos X 0 e Y 0

X 0 = x 0 , y 0 = ( 1,1 )

Y 0 = z 0 = 1

Vamos identificar também nosso F ( X , Y ) , jogando tudo pra um lado só na equação do problema:

F X , Y = F x , y , z = x 3 + y 3 + z 3 - x - y - z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve a equação né?

1 3 + 1 3 + 1 3 - 1 - 1 - 1 = 0

Beleza, ele serve porque F X 0 , Y 0 = 0 !

Passo 3

Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro F Y , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a z porque é F Y = F z

F Y = ∂ f 1 ∂ z = [ 3 z ² - 1 ]

Passo 4

Agora temos que ver se D e t F Y ≠ 0 no ponto 1,1 , 1

det ⁡ F Y = 3 . 1 ² - 1 = 2 ≠ 0

Show! Como ele é diferente de 0 podemos definir z em função de   x e y .

Passo 5

Agora para encontrar a derivada de Y = z = g X = g ( x , y ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Então, primeiro temos que fazer F X

F X = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y = 3 x 2 - 1 3 y 2 - 1

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa de F Y

F Y = 3 z 2 - 1

F Y - 1 = 1 3 z 2 - 1

Passo 7

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

g ' X 0 = ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = - 1 3 z 2 - 1 ∙ 3 x 2 - 1 3 y 2 - 1

g ' X 0 = ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = - 3 x 2 - 1 3 z 2 - 1 - 3 y 2 - 1 3 z 2 - 1

Resposta

∂ z ∂ x = - 3 x 2 - 1 3 z 2 - 1

∂ z ∂ y = - 3 y 2 - 1 3 z 2 - 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas