Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Passo 1

Primeiro vamos identificar quem é o vetor X e quem é o vetor Y .

Como ele diz que y e z estão em função de x

X = x

O resto vai ser do vetor Y

Y = y , z

Temos duas funções então vamos ter

F z , x , y = f 1 x , y , z , f 2 x , y , z = x 2 + z 2 - 25 , y 2 + z 2 - 20

Que são as duas equações que ele deu ali.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora podemos partir direto para o cálculo das derivadas, pois a questão já afirma que o sistema define y e z implicitamente como funções de x .

Para encontrar a derivada de Y = ( y , z ) = g X = g ( x ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Então, primeiro temos que fazer F X = F x , são as derivadas de f 1 e f 2 em relação a x .

F X = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 2 ∂ x = 2 x 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a inversa de F Y .

F Y = F Y = ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z = 0 2 z 2 y 2 z

E a inversa fazemos como vimos em álgebra linear.

F Y - 1 = 1 0.2 z - 2 z . 2 y 2 z - 2 z - 2 y 0 = - 1 4 y z 2 z - 2 z - 2 y 0 = - 1 2 y 1 2 y 1 2 z 0

Passo 4

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

g ' X 0 = ∂ y ∂ x ∂ z ∂ x = = - 0 2 z 2 y 2 z - 1 . 2 x 0

∂ y ∂ x ∂ z ∂ x = - - 1 2 y 1 2 y 1 2 z 0 ∙ 2 x 0

Assim,

∂ y ∂ x = x y

∂ z ∂ x = - x z

Resposta

∂ y ∂ x = x y

∂ z ∂ x = - x z

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