Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 1.

Verifique as hipóteses do teorema da função implícita no ponto P 0 = ( 1,1 ) e calcule y ' ( 1 ) e y ' ' ( 1 ) para

ln ⁡ x y - 2 x y + 2 = 0

Passo 1

Vamos lá a primeira coisa a fazer é identificar quem é o vetor X e quem é o vetor Y .

Como ele quer y em função de x

X = x

O resto vai ser do vetor Y

Y = y

Assim também temos X 0 e Y 0

X 0 = x 0 = 1

Y 0 = y 0 = 1

Vamos identificar também nosso F ( X , Y ) :

F X , Y = F ( x , y ) = ln ⁡ x y - 2 x y + 2

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Passo 2

Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve a equação né?

ln ⁡ 1.1 - 2.1 . 1 + 2 = 0 - 2 + 2 = 0

Beleza, ele serve porque F X 0 , Y 0 = 0 !

Passo 3

Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro F Y , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a y porque é F Y = F y

F Y = ∂ f 1 ∂ y = x x y - 2 x

Passo 4

Agora temos que ver se D e t F Y ≠ 0 no ponto 1,1

det ⁡ F Y = 1 1.1 - 2.1 = - 1 ≠ 0

Show! Como ele é diferente de 0 podemos definir y em função de   x .

Pronto, verificamos as hipóteses do teorema da função inversa.

Passo 5

Agora para encontrar as derivadas de Y = y = g X = g ( x ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Então, primeiro temos que fazer F X

F X = ∂ f 1 ∂ x = y x y - 2 y

Agora, substituímos no ponto:

F X = 1 1.1 - 2.1 = - 1

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa de F Y

F Y = x x y - 2 x = x - 2 x 2 y x y

F Y - 1 = x y x - 2 x 2 y

Substituindo no ponto:

F Y - 1 = 1.1 1 - 2.1 2 . 1 = - 1 1 = - 1

Passo 7

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X = - F Y - 1 . F X

g ' X = ∂ y ∂ x = - x - 2 x 2 y x y - 1 . y x y - 2 y

g ' X = ∂ y ∂ x = - x y x - 2 x 2 y . y - 2 x y ² x y = - y - 2 x y ² x - 2 x 2 y

Substituindo no ponto:

g ' X 0 = ∂ y ∂ x 1 = y ' 1 = - 1 - 2.1 . 1 2 1 - 2.1 2 . 1 = - 1

Passo 8

Para achar y ' ' ( x ) vamos derivar novamente a expressão de y ' x = - y - 2 x y ² x - 2 x 2 y

y ' ' x = - y ' - 2 y 2 - 2 x 2 y y ' x - 2 x 2 y - ( 1 - 4 x y - 2 x 2 y ' ) ( y - 2 x y 2 ) x - 2 x 2 y 2

Substituindo no ponto:

y ' ' 1 = - - 1 - 2 1 2 - 2 1 2.1 - 1 . 1 - 2.1 2 . 1 - 1 - 4.1 . 1 - 2.1 2 . - 1 . 1 - 2.1 . 1 2 1 - 2.1 2 . 1 2

y ' ' 1 = - + 1 . - 1 - - 1 . ( - 1 ) 1 = 2

Resposta

y ' 1 = - 1

y ' ' 1 = 2

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