Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Suponha que y = y u , v , w , x e z = z u , v , w , x estão definidas implicitamente pelo sistema

u v - x y = z x 2 + y 2 = w

Encontre todas as derivadas parciais de y e z em termos de u , v , w , x e y .

Passo 1

A primeira coisa a fazer é determinar o vetor X e o vetor Y . O Vetor X vai ser aquele que você está em função, neste caso

X = u , v , w , x

E o Y é o resto

Y = y , z

Vamos ter

F x , y , z , u , v , w = f 1 , f 2 = u v - x y - z , x 2 + y 2 - w

Repara que eu joguei tudo para esquerda nas duas equações, assim vamos ter se F x , y , z , u , v , w = 0,0 em qualquer ponto.

Então podemos continuar, a função de zero

Já definimos tudo que precisamos vamos as contas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que temos que fazer para ver se podemos definir implicitamente é fazer F Y e ver se ela é diferente de 0 no ponto que ele deu.

F Y = ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z = - x - 1 2 y 0

Não precisamos verificar que ele é definido implicitamente, isso porque ele já disse que é, no enunciado.

Passo 3

b )

Para achar a derivada temos que achar agora F X

F X = ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 1 ∂ w ∂ f 1 ∂ x ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v ∂ f 2 ∂ w ∂ f 2 ∂ x = v u 0 - y 0 0 - 1 2 x

Passo 4

Vamos ter agora

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

g ' = - - x - 1 2 y 0 - 1 v u 0 - y 0 0 - 1 2 x

Usando álgebra linear vamos ter

- x - 1 2 y 0 - 1 = 0 1 / 2 y - 2 y / 2 y   - x / 2 y

⇒ 0 1 / 2 y - 1   - x / 2 y

g ' = - 0 1 / 2 y - 1   - x / 2 y v u 0 - y 0 0 - 1 2 x

g ' = - 0 0 - 1 2 y x y - v - u x 2 y y - x 2 y 2

g ' = 0 0 1 2 y - x y v u - x 2 y - y + x 2 y 2

Lembrando que

g ' = ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ y ∂ x ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w ∂ z ∂ x = 0 0 1 2 y - x y v u - x 2 y - y + x 2 y 2

Vamos ter

∂ y ∂ u = 0

∂ y ∂ v = 0

∂ y ∂ w = 1 2 y

∂ y ∂ x = - x y

E

∂ z ∂ u = v

∂ z ∂ v = u

∂ z ∂ w = - x 2 y

∂ z ∂ x = - y + x 2 y 2

Resposta

∂ y ∂ u = 0

∂ y ∂ v = 0

∂ y ∂ w = 1 2 y

∂ y ∂ x = - x y

E

∂ z ∂ u = v

∂ z ∂ v = u

∂ z ∂ w = - x 2 y

∂ z ∂ x = - y + x 2 y 2

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