Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Passo 1

Vamos entender o que a questão tá dizendo:

Temos uma função y ( x ) definida implicitamente pela equação de x = F x 2 + y ,   y 2 .

Se chamarmos

x 2 + y = s

y 2 = t

Temos que a equação que define implicitamente y como uma função de x é x = F s , t .

Ou seja, estamos diante de um caso em que essa equação é a equação de uma função composta.

Então vamos precisar usar o teorema da função implícita e a regra da cadeia (2 parâmetros) pra derivar y ( x ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o Teorema da Função Implícita, temos que

X = x

Y = y

F ' X , Y = x - F ( s , t )

Agora para encontrar a derivada de Y = y = g X = g ( x ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X = - F ' Y - 1 . F ' X

Passo 3

Vamos começar encontrando F ' X .

F ' X = ∂ f 1 ∂ x = 1 - ∂ F ∂ x

Aí é que temos que ter muita atenção!

Por que, por que?

Porque para encontrar ∂ F ∂ x vamos usar a regra da cadeia. Isso porque s e t são também funções de x .

∂ F ∂ x = ∂ F ∂ s ∂ s ∂ x + ∂ F ∂ t ∂ t ∂ x  

∂ F ∂ x = ∂ F ∂ s ∙ 2 x + ∂ F ∂ t ∙ 0 = 2 x ∂ F ∂ s

Assim

F ' X = ∂ f 1 ∂ x = 1 - 2 x ∂ F ∂ s

Passo 4

Agora vamos encontrar F ' Y :

F ' Y = ∂ f 1 ∂ y = - ∂ F ∂ y

E, de novo, para calcular ∂ F ∂ y vamos precisar da tal da regra da cadeia. Isso porque s e t são também funções de y .

∂ F ∂ y = ∂ F ∂ s ∂ s ∂ y + ∂ F ∂ t ∂ t ∂ y  

∂ F ∂ y = ∂ F ∂ s ∙ 1 + ∂ F ∂ t ∙ 2 y = ∂ F ∂ s + 2 y ∂ F ∂ t  

Assim

F ' Y = ∂ f 1 ∂ y = - ∂ F ∂ s + 2 y ∂ F ∂ t

A inversa disso vai ser:

F Y - 1 = 1 1 - ∂ F ∂ s + 2 y ∂ F ∂ t

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da derivada

g ' X = - F ' Y - 1 . F ' X

g ' X = d y d x = - 1 - ∂ F ∂ s + 2 y ∂ F ∂ t . 1 - 2 x ∂ F ∂ s

d y d x = 1 - 2 x ∂ F ∂ s ∂ F ∂ s + 2 y ∂ F ∂ t

Resposta

d y d x = 1 - 2 x ∂ F ∂ s x 2 + y ,   y 2 ∂ F ∂ s x 2 + y ,   y 2 + 2 y ∂ F ∂ t x 2 + y ,   y 2

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