Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Teorema da função implícita

Responda, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

Se S denota o conjunto de pontos do espaço R 3 que satisfazem a equação

z 2 + z + x 2 + y 2 = 2

Então 0,0 , 1 pertence a S e os pontos de S perto de 0,0 , 1 podem-se escrever na forma x , y , z x , y , onde z é uma função de classe C 1 e ∂ z ∂ y 0,0 = 0

Passo 1

Lendo o enunciado todo, repara que ele faz 3 afirmações,

  1. Que 0,0 , 1 pertence a S
  2. Que podemos escrever z em função de x , y
  3. Que a derivada de z em relação a y em 0,0 é 0

Vamos fazer cada uma dessas afirmações de cada vez

1)

Primeiro vamos verificar se aquele ponto está em S

0,0 , 1 → 1 2 + 1 + 0 2 + 0 2 = 1 + 1 = 2

Como aquela conta deu 2 e a na superfície S temos que essa conta toda da 2 esse ponto está em S

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

2)

Agora ele quer saber se z se pode ser escrito em função de x , y , aqui temos que usar o teorema da função implícita a primeira coisa que temos que fazer é achar X e Y que vimos na teoria de teorema da função implícita.

O X são as variáveis que você está em função, enquanto o Y vai ser a função. Assim vamos ter

X = x , y

E

Y = z

Além disso vamos ter

F x , y , z = z 2 + z + x 2 + y 2 - 2

E pela definição já vimos que

F x , y , z = 0

Passo 3

Para ver se podemos definir implicitamente devemos fazer F Y e ver se o determinante é diferente de 0

F Y = ∂ F ∂ z = 2 z + 1

Vamos fazer isso no ponto que ele disse, que é 0,0 , 1

F Y 0,0 , 1 = 2.1 + 1 = 3

Como

3 = 3 ≠ 0

O determinante dessa matriz é diferente de 0 e pelo teorema da função implícita teremos z em função de x e y em torno desse ponto

Passo 4

3)

Essa afirmação só seria válida se a função pudesse ser escrita implicitamente, isso não quer dizer que ela é verdadeira, isso quer dizer apenas que existe a possibilidade, precisamos calcular essa derivada primeiro.

O teorema da função implícita diz que

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Lembrando que, neste caso

g ' X 0 = ∂ z ∂ x X 0 ∂ z ∂ y X 0

Então precisamos achar aquele g ' X 0 , primeiro vamos fazer F X no ponto que ele pediu

F X = ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

Assim vamos ter

F X = 2 x 2 y

Precisamos disso no ponto que ele deu

F X 0,0 , 1 = 0 0

Passo 5

Vamos agora para g ' X 0 , primeiro repara que

X 0 = 0,0

Então

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

g ' 0,0 = ∂ z ∂ x 0,0 ∂ z ∂ y 0,0 = - 3 - 1 . 0 0

g ' 0,0 = ∂ z ∂ x 0,0 ∂ z ∂ y 0,0 = 0 0

Isso nos diz que

∂ z ∂ x 0,0 = 0

E

∂ z ∂ y 0,0 = 0

Esse segundo é a afirmação 3 que ele fez, então tudo que ele disse é verdadeiro.

Resposta

Verdadeiro

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