Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Dado do sistema

x + 2 y 2 - 2 y v - u v = 2 z x 2 - y z - 2 u = v

  1. Verifique que o sistema define implicitamente u , v = f x , y , z na vizinhança de ( 1 , - 1,1 ) e tal que f 1 , - 1,1 = ( 2 , - 2 )
  2. Determine f ' 1 , - 1,1
  3. Determine a função afim que aproxima f na vizinhança de 1 , - 1,1
  4. Calcule, aproximadamente, f 1.08 ,   - 0.9 ,   0.98

Passo 1

a )

Vamos aplicar o teorema da função implícita aqui.

A primeira coisa a fazer é determinar o vetor X e o vetor Y . O Vetor X vai ser aquele que você está em função, neste caso

X = x , y , z

E o Y é o resto

Y = u , v

Vamos ter

F x , y , z , u , v , = f 1 , f 2 = x 2 + y 2 - 2 y v - u v - 2 z , x 2 - y z - 2 u - v

Vamos ter se F x , y , z , u , v , = 0,0 no ponto

F 1 , - 1,1 , 2 , - 2 = ( 1 2 + - 1 2 - 2 ( - 1 ) ( - 2 ) - 2 ( - 2 ) - 2 . 1 , 1 2 - ( - 1 ) ( 1 ) - 2 . 2 - ( - 2 ) )

⇒ 1 + 1 - 4 + 4 - 2 ,   1 + 1 - 4 + 2   = 0,0

Então podemos continuar, a função deu zero.

Já definimos tudo que precisamos vamos as contas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que temos que fazer para ver se podemos definir implicitamente é fazer F Y e ver se ela é diferente de 0 no ponto que ele deu.

F Y = ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v = - v - 2 y - u - 2 - 1

Vamos agora fazer no ponto 1 , - 1,1 , 2 , - 2

F Y 1 , - 1,1 , 2 , - 2 = - ( - 2 ) - 2 ( - 1 ) - 2 - 2 - 1 = 2 0 - 2 - 1

Temos agora que achar seu determinante e ele ser diferente de 0 .

D e t F Y 1 , - 1,1 , 2 , - 2 = 2 - 1 + 0 - 2 = - 2 ≠ 0

Como é diferente de 0 podemos definir implicitamente a função

Passo 3

b )

Para achar a derivada temos que achar agora F X

F x , y , z , u , v , = f 1 , f 2 = x 2 + y 2 - 2 y v - u v - 2 z , x 2 - y z - 2 u - v

F X = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z = 2 x 2 y - 2 v - 2 2 x - z - y

Vamos agora fazer no ponto 1 , - 1,1 , 2 , - 2

F X 1 , - 1,1 , 2 , - 2 = 2 . 1 2 ( - 1 ) - 2 ( - 2 ) - 2 2 . 1 - 1 - ( - 1 )

F X 1 , - 1,1 , 2 , - 2 = 2 2 - 2 2 - 1 1

Passo 4

Vamos ter agora

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Lembrando que

X 0 = 1 , - 1,1

g ' 1 , - 1,1 = - 2 0 - 2 - 1 - 1 2 2 - 2 2 - 1 1

Aqui temos uma matriz de ordem 2 para inverter, vamos então usar aquele macetinho de Álgebra Linear:

F Y - 1 = 1 det ⁡ F Y ∙ - 1 0 - - 2 2 = 1 - 2 ∙ - 1 0 2 2

F Y - 1 = 1 2 0 - 1 - 1

Passo 5

Agora vamos substituir na fórmula das derivadas:

g ' 1 , - 1,1 = - 1 2 0 - 1 - 1 2 2 - 2 2 - 1 1

g ' 1 , - 1,1 = ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z = f ' = - 1 - 1 1 4 1 - 1

Passo 6

c )  

Para calcular a aproximação linear de f , já sabemos que

f X 0 = f 1 , - 1,1 = ( 2 , - 2 )

Ok, agora precisamos da derivada dessa função. Isso nós calculamos lá na letra b :

f ' 1 , - 1,1 = - 1 - 1 1 4 1 - 1

Passo 7

Pronto, agora é só substituir na fórmula da aproximação linear!

A X = F P 0 + F ' P 0 . ( X - P 0 )

A x , y , z = 2 - 2 + - 1 - 1 1 4 1 - 1 . x - 1 y + 1 z - 1 =   2 - 2 + - x + 1 - y - 1 + z - 1 4 x - 4 + y + 1 - z + 1

A x , y , z = - x - y + z + 1 4 x + y - z - 4

Passo 8

d )  

Agora, para calcular o valor aproximado de f 1.08 ,   - 0.9 ,   0.98 é só a gente substituir esse ponto na aproximação linear que calculamos na letra c :

f 1.08 ,   - 0.9 ,   0.98 ≈ A 1.08 ,   - 0.9 ,   0.98 = - 1,08 - ( - 0,9 ) + 0,98 + 1 4 1,08 - 0,9 - 0,98 - 4

f 1.08 ,   - 0.9 ,   0.98 ≈ 1,80 - 1,56

Resposta

b )

f ' = - 1 - 1 1 4 1 - 1

c )  

A x , y , z = - x - y + z + 1 4 x + y - z - 4

d )  

f 1.08 ,   - 0.9 ,   0.98 ≈ 1,80 - 1,56

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