Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.323. questão 1.

É possível “resolver” o sistema de equações

x y 2 + x y u + y v 2 = 3

u 3 y z + 2 x v - u 2 v 2 = 2

Para u ( x , y , z ) e v ( x , y , z ) próximo de x , y , z , u , v = ( 1,1 , 1,1 , 1 ) ?

Calcule ∂ v ∂ y em x , y , z = ( 1,1 , 1 ) .

Passo 1

O que ele quer saber é se esse sistema de equações define u e v como funções de x , y , z nas vizinhanças de .   ( 1,1 , 1,1 , 1 ) .

Vamos usar o teorema da função implícita. Então

X = x , y , z

X 0 = ( 1,1 , 1 )

Y = u , v

Y 0 = ( 1,1 )

F X , Y = F x , y , z , u , v = x y 2 + x y u + y v 2 - 3 , u 3 y z + 2 x v - u 2 v 2 - 2

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Passo 2

Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve ao sistema de equações

1.1 2 + 1.1 . 1 + 1.1 2 - 3 = 0

1 3 . 1.1 + 2.1 . 1 - 1 2 . 1 2 - 2 = 0

Beleza, ele serve porque F X 0 , Y 0 = ( 0,0 ) !

Passo 3

Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro F Y , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a u , v porque é F Y = F u , v

F Y = ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v = x y 2 y v 3 u 2 y z - 2 u v ² 2 x - 2 u ² v

Passo 4

Agora temos que ver se D e t F Y ≠ 0 no ponto 1,1

det ⁡ F Y 0 = 1 2 3 - 2 2 - 2 = 1 2 1 0 = - 2 ≠ 0

Beleza, deu diferente de zero, então essa matriz é inversivel e é possível resolver o sistema para u ( x , y , z ) e v ( x , y , z ) próximo de x , y , z , u , v = ( 1,1 , 1,1 , 1 )

Passo 5

Agora, pra calcular a derivada, como ele só quer ∂ v ∂ y , vamos usar a derivação implícita pra facilitar as nossas vidas!

Se fossemos usar o teorema inteiro, a gente ia calcular essa derivada também, mas além dela calcularíamos as derivadas de u e v em relação não só a y , mas também a x e z . Ou seja, varias trabalhos desnecessários.

Com a derivação implícita, a gente deriva cada equação em relação a y considerando que u e v são funções de y :

2 x y + x u + x y ∂ u ∂ y + 1 v 2 + 2 v y ∂ v ∂ y = 0

3 u ∂ u ∂ y y z + u 3 z . 1 + 2 x ∂ v ∂ y - 2 u ∂ u ∂ y v 2 - 2 v ∂ v ∂ y u 2 = 0

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ∂ v ∂ y   e   ∂ u ∂ y .

Se isolarmos ∂ u ∂ y na primeira equação e substituirmos na segunda, depois de resolver essas contas gigantes e substituir o ponto ( 1,1 , 1 ) , encontraremos

∂ v ∂ y = - 1

Resposta

∂ v ∂ y = - 1

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