Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Teorema da função inversa e implícita

As equações

x 2 - y cos ⁡ u v + z 2 = 0 x 2 - y 2 - sen ⁡ u v + 2 z 2 = 0 x y - sen ⁡ u cos ⁡ v + z = 0

Definem x , y e z como funções de u e v próximo ao ponto x = y = 1 , u = π 2 , v = z = 0 ? Calcule as derivadas parciais ∂ x ∂ u e ∂ z ∂ u em π 2 , 0

Passo 1

Vamos aplicar o teorema da função implícita aqui.

A primeira coisa a fazer é determinar o vetor X e o vetor Y . O Vetor X vai ser aquele que você está em função, neste caso

X = u , v

E o Y é o resto

Y = x , y , z

Vamos ter

F x , y , z , u , v , = f 1 , f 2 , f 3 = x 2 - y cos ⁡ u v + z 2 , x 2 - y 2 - sen ⁡ u v + 2 z 2 , x y - sen ⁡ u cos ⁡ v + z

Vamos ter se F x , y , z , u , v , = 0,0 no ponto

F 1,1 , 0 , π 2 , 0 = 1 2 - 1 cos ⁡ π 2 0 + 0 2 , 1 2 - 1 2 - sen ⁡ π 2 0 + 2 ∙ 0 2 , 1 ∙ 1 - sen ⁡ π 2 cos ⁡ 0 + 0

⇒ 1 - cos ⁡ 0 + 0,1 - 1 - sen ⁡ 0 + 0,1 - 1 ∙ 1 = 1 - 1,0 , 0 = 0,0 , 0

Então podemos continuar, a função de zero

Já definimos tudo que precisamos vamos as contas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que temos que fazer para ver se podemos definir implicitamente é fazer F Y e ver se ela é diferente de 0 no ponto que ele deu.

F Y = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z ∂ f 3 ∂ x ∂ f 3 ∂ y ∂ f 3 ∂ z = 2 x - cos ⁡ u v 2 z 2 x - 2 y 4 z y x 1

Vamos agora fazer no ponto 1,1 , 0 , π 2 , 0

F Y 1,1 , 0 , π 2 , 0 = 2 ∙ 1 - cos ⁡ π 2 0 2 ∙ 0 2 ∙ 1 - 2 ∙ 1 4 ∙ 0 1 1 1 = 2 - 1 0 2 - 2 0 1 1 1

Temos agora que achar seu determinante e ele ser diferente de 0 .

D e t F Y 1,1 , 0 , π 2 , 0 = 2 - 2 + 0 + 0 - 0 - - 1 2 - 0 = - 4 + 2 = - 2 ≠ 0

Como é diferente de 0 podemos definir implicitamente a função

Passo 3

b )

Para achar a derivada temos que achar agora F X

x 2 - y cos ⁡ u v + z 2 , x 2 - y 2 - sen ⁡ u v + 2 z 2 , x y - sen ⁡ u cos ⁡ v + z

F X = ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v ∂ f 3 ∂ u ∂ f 3 ∂ v = y v sen ⁡ u v y u sen ⁡ u v - v cos ⁡ u v - u cos ⁡ u v - cos ⁡ u cos ⁡ v sen ⁡ u sen ⁡ v

Vamos agora fazer no ponto 1,1 , 0 , π 2 , 0

F X 1,1 , 0 , π 2 , 0 = 1 ∙ 0 sen ⁡ π 2 0 1 π 2   sen ⁡ π 2 0 - 0 cos ⁡ π 2 0 - π 2 cos ⁡ π 2 0 - cos ⁡ π 2 cos ⁡ 0 sen ⁡ π 2 sen ⁡ 0

F X 1,1 , 0 , π 2 , 0 = 0 0 0 - π 2 0 0

Passo 4

Vamos ter agora

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Lembrando que

X 0 = π 2 , 0

g ' π 2 , 0 = - 2 - 1 0 2 - 2 0 1 1 1 - 1 0 0 0 - π 2 0 0

Aqui temos uma matriz de ordem 3 para inverter, vamos supor que invertemos ela e achamos uma matriz qualquer repara que a primeira coluna dessa multiplicação vai dar toda 0

Então

g ' π 2 , 0 = 0 … 0 … 0 …

Coloquei os pontinhos porque aqueles valores não interessam para nós, lembra que

g ' π 2 , 0 = ∂ x ∂ u π 2 , 0 ∂ x ∂ v π 2 , 0 ∂ y ∂ u π 2 , 0 ∂ y ∂ v π 2 , 0 ∂ z ∂ u π 2 , 0 ∂ z ∂ v π 2 , 0

Então só queremos a primeira coluna mesmo, isso porque ele pediu ∂ x ∂ u e ∂ z ∂ u

Vamos ter

∂ x ∂ u π 2 , 0 = 0

∂ z ∂ u π 2 , 0 = 0

Resposta

b )

∂ x ∂ u π 2 , 0 = 0

∂ z ∂ u π 2 , 0 = 0

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