Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 3.

Seja F : R 2 → R definida por z = F x , y = y - x 4

  1. Faça um esboço das curvas de nível de F associadas aos níveis z = 0 , z = 1 e z = 16 .
  2. Faça um esboço do gráfico de F .
  3. Mostre que P = ( 0,0 ) pertence a curva de nível
  4. F 0 = { x , y ∈ R 2   ; F x , y = 0 }

    De F associada ao nível z = 0 .

  5. Mostre que F x 0,0 = 0 e F y 0,0 = 0
  6. Mostre que a curva de nível F 0 pode ser representada como o gráfico de uma função y = f ( x ) com x ∈ R .
  7. Este exercício constitui um contraexemplo para o teorema da função implícita para R 2 ? Justifique cuidadosamente sua resposta.

Passo 1

a )  

Para esboçar as curvas de nível da função, precisamos fazer

z = F x , y = y - x 4 = k

Para

z = k = 0

z = k = 1

z = k = 16

Vamos lá então.

Primeiro para z = 0 :

z = y - x 4 = 0

y - x = 0

Temos a reta

y = x

Agora para z = 1 :

z = y - x 4 = 1

y - x = 1 4

y - x = ± 1

Temos as retas deslocadas

y = x ± 1

Por fim, para z = 16 :

z = y - x 4 = 1 6

y - x = 1 6 4

y - x = ± 2

Temos as retas deslocadas

y = x ± 2

Assim, o esboço dessas curvas de nível fica

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para esboçar o gráfico de F , pense só comigo.

Se fazendo z = 0 , z = 1 e z = 16 obtivemos as retas

y = x

y = x ± 1

y = x ± 2

Respectivamente, conforme formos aumentando nosso plano z = k , teremos sempre retas cada vez mais deslocadas.

Assim, o gráfico da nossa função F fica

Passo 3

c )

Já vimos na letra ( a ) que a curva de nível de F associada ao nível z = 0 é a reta

y = x

Assim, o ponto P = ( 0,0 ) pertence a essa curva de nível pois

0 = 0

Ou, podíamos provar isso também verificando que

z = F 0,0 = 0 - 0 4 = 0

Passo 4

d )

Vamos calcular F x e F y .

F x , y = y - x 4

Pela regra da cadeia

F x = 4 y - x 3 . - 1 = - 4 y - x 3

F y = 4 y - x 3 . 1 = 4 y - x 3

Substituindo no ponto ( 0,0 ) :

F x 0,0 = - 4 0 - 0 3 = 0

F y = 4 0 - 0 3 = 0

Pronto! Tudo provado!

Passo 5

e )

Conforme já vimos na letra ( a ) que a curva de nível de F associada ao nível z = 0 é a reta

y = x

E essa expressão define y como uma função de x . Assim

y = f x = x

Passo 6

f )

Segundo o teorema da função implícita se F 0,0 = 0 e F y ( 0,0 ) é inversivel, então, numa vizinhança de ( 0,0 ) , a equação

y - x 4 = 0

Define implicitamente uma função y = f ( x ) .

A primeira hipótese nós verificamos na letra ( c ) , mas a segunda hipótese foi contrariada, conforme vimos na letra ( d ) . Apesar disso, na letra ( f ) nós provamos que a função y = f x = x está definida implicitamente na equação

y - x 4 = 0

Ué, mas como assim?!

Isso acontece porque a condição F y ( 0,0 ) ≠ 0 , isto é, F y ( 0,0 ) inversível, é uma condição suficiente, porém não necessária para a existência de uma função implícita y = f ( x ) .

E é exatamente isso que essa questão nos prova. Assim, ela não é um contraexemplo do teorema da função implícita.

Resposta

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