Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Passo 1

Vamos lá a primeira coisa a fazer é identificar quem é o vetor X e quem é o vetor Y .

Como ele quer tudo em função de x

X = x

O resto vai ser do vetor Y

Y = y , z

Assim também temos X 0 e Y 0

X 0 = x 0 = 0

Y 0 = y 0 , z 0 = 1 , - 1

Temos duas funções então vamos ter

F z , x , y = f 1 x , y , z , f 2 x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 2 , y + x - 1

Que são as duas equações que ele deu ali.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve a equação né?

0 2 + 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2

1 + 0 = 1

Beleza esse ponto serve porque F X 0 , Y 0 = 0

Passo 3

Para vermos se ele define implicitamente precisamos achar primeiro F Y , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas de x e y porque é F Y = F y , z

F Y = ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z = 2 y 2 z 1 0

Passo 4

Agora temos que ver se D e t F Y ≠ 0 no ponto 0 , 1 , - 1

D e t F Y = 2 . 1 2 . ( - 1 ) 1 0 = 2 - 2 1 0 = 2

Como ele é diferente de 0 podemos definir y e z em função de x .

Passo 5

Agora para encontrar a derivada de Y = ( y , z ) = g X = g ( x ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Então, primeiro temos que fazer F X = F x , são as derivadas de f 1 e f 2 em relação a x .

F X = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 2 ∂ x = 2 x 1

Agora achamos no ponto

F X = 2 . 0 1 = 0 1

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa de F Y

F Y = 2 y 2 z 1 0

F Y 0,1 , - 1 = 2 - 2 1 0

E a inversa fazemos como vimos em álgebra linear.

F Y - 1 = 1 det ⁡ F Y 0 - - 2 - 1 2 = 1 2 0 2 - 1 2 = 0 1 - 1 2 1

Passo 7

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

g ' X 0 = ∂ y ∂ x x 0 ∂ z ∂ x x 0 = ∂ y ∂ x 0 ∂ z ∂ x 0 = - 2 - 2 1 0 - 1 . 0 1

∂ y ∂ x 0 ∂ z ∂ x 0 = - 0 1 - 1 2 1 ∙ 0 1

Assim,

∂ y ∂ x 0 = - 1

∂ z ∂ x 0 = - 1

Resposta

∂ y ∂ x 0 = - 1

∂ z ∂ x 0 = - 1

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