Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 12, Questão 11

11. A função z = z x , y , de classe C 1 , é dada pela equação f x y , z x λ = 0 ( λ 0 é um real fixo), onde f u , v é da classe C 1 e f v u , v 0 . Verifique que x z x + y z y = λ z

Passo 1

Vamos organizar as informações contidas no enunciado. Repare o seguinte:

z = z x , y

Portanto z é uma função implícita de x , y .

Podemos definir o seguinte:

F x , y , z = f x y , z x λ

Na verdade é a mesma coisa, apenas coloquei de forma mais clara. Porém podemos escrever:

f x y , z x λ = f u , v

Substituindo na equação anterior temos:

F x , y , z = f u , v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular z x e z y

Usando o teorema da função implícita temos:

f ' = - F Y - 1 . F X

Onde f ' = z x z y

F X = F x F y

F Y = F z

Lembrando sempre que X e Y são vetores. Nesse caso X = x , y , Y = z

Temos então, substituindo:

f ' = - F Y - 1 . F X

z x z y = - 1 F z F x F y

Ajeitando:

z x = - F x F z

z y = - F y F z

Passo 3

Substituindo no lado esquerdo da equação x z x + y z y = λ z , temos:

x - F x F z + y - F y F z = - 1 F z x F x + y F y

Passo 4

Agora falta encontrar F x ,   F y , F z . Vamos nos lembrar de que:

F x , y , z = f u , v

Então, usando a regra da cadeia:

F x = f u , v u u x + f u , v v v x

F y = f u , v u u y + f u , v v v y

F z = f u , v u u z + f u , v v v z

Calculando temos:

F x = f u 1 y   + f v - z λ x λ + 1

F y = f u - x y 2   + f v 0 = f u - x y 2  

F z = f u 0   + f v 1 x λ = f v 1 x λ    

Passo 5

Substituindo em - 1 F z x F x + y F y , temos:

- 1 F z x F x + y F y = - 1 f v 1 x λ x 1 y f u + x f v - z λ x λ + 1 +   y - x y 2 f u

Não há nenhum problema ,pois o enunciado afirma: f v u , v 0

Ajeitando:

- x λ f v 0 + x f v - z λ x λ + 1 = x λ + 1 λ z x λ + 1 = λ z

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