Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

UFF, Cálculo 2B, Parte 14, exemplo 14.3.4

Considere as equações

x u + y v + z w = 1

x + y + z + u + v + w = 0

x y + z u v + w = 0

Suponha que x , y , z são funções diferenciáveis de u , v e w que estão implícitas nas equações acima. Determine x w , y w e z w derivando implicitamente as equações acima com respeito a w .

Passo 1

Vamos lá, como o problema mesmo diz, vamos derivar implicitamente as equações acima com respeito a w , considerando que x , y , z são funções de w :

x w u + y w v + z w w + z = 0

x w + y w + z w + 1 = 0

x w y + y w x + z w u v + 1 = 0

Temos um sistema com 3 equações e 3 incognitas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolvendo o sistema:

Isolando x w   na primeira equação:

x w = - y w v - z w w - z u

Substituindo na segunda equação e isolando y w :

y w = - z w u - w + z - u u - v

Assim:

x w = - y w v - z w w - z u = - - z w u - w + z - u u - v v - z w w - z u = z w v - w - z - v

Substituindo tudo isso na terceira equação:

z w v - w - z - v y + - z w u - w + z - u u - v x + z w u v + 1 = 0

Passo 3

E, fazendo milhões de contas, chegamos em:

z w = z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2  

y w = - z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2 u - w + z - u u - v

x w = z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2 v - z y u - z y v + v y u - v 2 y - u + v u v y - v 2 y - u w y + v w - u x + x w + u 2 v - v 2 w - z u

Resposta

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