Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.314. questão 6.

Encontre os pontos da lemniscata de equação

x 2 + y 2 2 - 2 a 2 x 2 - y 2 = 0

Em que as retas tangentes são horizontais.

Passo 1

Temos

X = x

Y = y

E

F X , Y = F x , y = x 2 + y 2 2 - 2 a 2 x 2 - y 2

Para achar os pontos onde as retas tangentes são horizontais, devemos primeiro achar a derivada de y em relação a x , para depois igualar isso a zero. Certo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para encontrar as derivadas de Y = y = g X = g ( x ) temos que a fórmula da derivada é

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Então, primeiro temos que fazer F X

F X = ∂ f 1 ∂ x = 4 x x 2 + y 2 - 4 a ² x ( x 2 - y 2 )

Passo 3

Agora vamos calcular F Y

F Y = ∂ f 1 ∂ y = 4 y x 2 + y 2 + 4 a ² y ( x 2 - y 2 )

Passo 4

Agora, vamos calcular a inversa de F Y

F Y = 4 y x 2 + y 2 + 4 a ² y ( x 2 - y 2 )

F Y - 1 = 1 4 y x 2 + y 2 + 4 a ² y ( x 2 - y 2 )

Passo 5

Agora é só substituir tudo na formula da derivada

g ' X = - F Y - 1 . F X

g ' X = ∂ y ∂ x = - 4 y x 2 + y 2 + 4 a ² y ( x 2 - y 2 ) - 1 . 4 x x 2 + y 2 - 4 a ² x ( x 2 - y 2 )

g ' X = ∂ y ∂ x = - 1 4 y x 2 + y 2 + 4 a 2 y x 2 - y 2 . 4 x x 2 + y 2 - 4 a 2 x x 2 - y 2

g ' ( x ) = - 4 x x 2 + y 2 - 4 a ² x ( x 2 - y 2 ) 4 y x 2 + y 2 + 4 a ² y ( x 2 - y 2 )

Passo 6

A reta tangente é horizontal nos pontos em que

g ' x = 0

Então

4 x x 2 + y 2 - 4 a 2 x x 2 - y 2 = 0

4 x x 2 + y 2 = 4 a 2 x x 2 - y 2

x 2 + y 2 = a 2 x 2 - y 2

Isso

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