Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G3 - 2012.1, Questão 1

Explique cuidadosamente porque a equação x 3 + 2 y 2 + 8 x z 2 - 3 z 3 y = 0 definie y como função de x , z em uma vizinhança do ponto - 2,2 , 0 . Determine a equação do plano tangente ao gráfico desta função naquele ponto.

Passo 1

Vamos começar vendo se essa equação define y como função de x , z . Para isso temos que começar identificando quem é X e quem é Y , lembra disso como vimos na teoria? Y é a função e X é em função de quem ela está definida. Desse jeito temos

X = x , z

E

Y = y

Além disso, vamos ter

F x , y , z = x 3 + 2 y 2 + 8 x z 2 - 3 z 3 y = 0

E temos aqui o X , o Y e a nossa função F x , y , z = 0 , vamos começar verificando se o ponto está nessa função

F - 2,2 , 0 = - 2 3 + 2 2 2 + 8 . - 2 0 2 - 3.0 3 2 = - 8 + 8 = 0

Beleza esse ponto está na F .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para vermos se podemos definir a função y em função de x , z devemos achar F Y , que vai ser

F Y = F y = 4 y - 3 z 3

Ele quer essa função no ponto - 2,2 , 0 , vamos ver quanto vai ser essa parada

F Y - 2,2 , 0 = 4.2 - 3.0 3 = 8 0

Como é diferente de 0 , pelo teorema da função implícita garantimos que y pode ser escrito em função de x , z

Passo 3

Vamos ao plano tangente agora. Já vimos que queremos o plano tangente a seguinte função

y = f x , z

Então vamos definir

G x , y , z = f x , z - y

E a equação do plano tangente vai ser

n x , y , z = n P 0

Onde o vetor normal via ser

n = G P 0 = G x P 0 , G y P 0 , G z P 0

Temos então que achar o gradiente de G

Passo 4

Vamos nesse passo achar o vetor normal e depois substituir ali.

Temos

n = G P 0 = G x P 0 , G y P 0 , G z P 0

Vamos começar achando G x , G y e G z , lembrando que

G x , y , z = f x , z - y

G x = f x = y x

G y = - 1

G z = f z = y z

Aqui temos que

G x = f x = y x x 0 , z 0

G y = - 1

G z = f z = y z x 0 , z 0

Lembrando que

x 0 = - 2

z 0 = 0

Repara que temos que achar as derivadas de y em função de x e z . O teorema da função implícita nos garante que y pode ser escrito como função de x , z e o valor das derivadas de y em função de x e de z .

Passo 5

Vamos agora achar essa derivada, ou seja,

f ' = - F Y - 1 . F X

Temos F Y falta achar F X , vamos a essa conta então

F X = F x F z

Então

F X = 3 x 2 + 8 z 2 16 x z - 9 z 2 y

Vamos agora fazer a conta no ponto

F X - 2,2 , 0 = 3 - 2 2 + 8 . 0 2 16 - 2 . 0 - 9 . 0 2 . 2 = 12 0

E a nossa derivada vai ser

f ' - 2,0 = y x - 2,0 y z - 2,0 = - 1 8 12 0 = - 12 8 0

Assim

y x - 2,0 = - 12 8 = - 3 2

E

y z - 2,0 = 0

Beleza agora temos todas as derivadas que precisávamos

Passo 6

Vamos voltar ao vetor normal agora, lembrando que

n = G P 0

E

G x = y x x 0 , z 0

G y = - 1

G z = y z x 0 , z 0

E acabamos de ver que

G x = y x - 2 , 0 = - 3 2

G z = y z - 2 , 0 = 0

E o nosso vetor normal vai ser

n = - 3 2 , - 1,0

Vamos ao plano tangente agora

n x , y , z = n P 0

Então

- 3 2 , - 1,0 x , y , z = - 3 2 , - 1,0 - 2,2 , 0

- 3 x 2 - y = 6 2 - 2 + 0

- 3 x 2 - y = 3 - 2

- 3 x 2 - y = 1

Resposta

Plano Tangente

- 3 x 2 - y = 1

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