Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 12, Questão 16

Se x = x u , v e y = y u , v são dadas implicitamente pelo sistema

u = x + y v = y x ,     x 0

Mostre que

1 + y x x u = 1

Passo 1

Para mostrarmos isso que ele pediu temos que achar x u , e para achar ele vamos usar o teorema da função implícita.

A primeira coisa a fazer é determinar o vetor X e o vetor Y . O Vetor X vai ser aquele que você está em função, neste caso

X = u , v

E o Y é o resto

Y = x , y

Vamos ter

F x , y , u , v = f 1 , f 2 = u - x - y , v - y x

Repara que eu joguei tudo para esquerda nas duas equações, assim vamos ter se F x , y , u , v = 0,0 em qualquer ponto.

Então podemos continuar, a função de zero

Já definimos tudo que precisamos vamos as contas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que temos que fazer para ver se podemos definir implicitamente é fazer F Y e ver se ela é diferente de 0 no ponto que ele deu.

F Y = f 1 x f 1 y f 2 x f 2 y = - 1 - 1 y x 2 - 1 x

Não precisamos verificar que ele é definido implicitamente, isso porque ele já disse que é, no enunciado.

Passo 3

b )

Para achar a derivada temos que achar agora F X

u - x - y , v - y x

F X = f 1 u f 1 v f 2 u f 2 v = 1 0 0 1

Passo 4

Vamos ter agora

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

g ' = - - 1 - 1 y x 2 - 1 x - 1 1 0 0 1

Usando álgebra linear vamos ter

- 1 - 1 y x 2 - 1 x - 1 = 1 x + y x 2 - 1 x y x 2 - 1 1

- x x + y y x + y - x 2 x + y x 2 x + y

g ' = - - x x + y y x + y - x 2 x + y x 2 x + y 1 0 0 1

g ' = - - x x + y y x + y - x 2 x + y x 2 x + y

g ' = x x + y - y x + y x 2 x + y - x 2 x + y

Lembrando que

g ' = x u x v y u y v = x x + y - y x + y x 2 x + y - x 2 x + y

O que nos interessa é

x u = x x + y

Passo 5

Substituindo na equação que ele pediu vamos ter

1 + y x x x + y =

x + y x x x + y

1

E realmente vamos ter aquela afirmação que ele deu.

Resposta

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