Exercícios Resolvidos de Teorema da Função Implícita

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G3 - 2014.1, Questão 4

Seja x 0 0 , y 0 0 e z 0 0 e seja x 0 , y 0 , z 0 um ponto que satisfaz a equação

x z = φ y z           1

Onde φ : R R é uma função de classe C

  1. Indique que condições deve satisfazer a função φ de forma que a equação acima defina implicitamente, z como função de x e y numa vizinhança de x 0 , y 0 , z 0 e mostre que
  2. x z x + y z y = z

    Onde z = ϕ x , y , na vizinhança de x 0 , y 0

  3. Calcule a equação do plano tangente À superfície descrita pela equação 1 no ponto x 0 , y 0 , z 0

Passo 1

a )

A primeira coisa a fazer é determinar o vetor X e o vetor Y . O Vetor X vai ser aquele que você está em função, neste caso

X = x , y

E o Y é o resto

Y = z

Vamos ter

F x , y , z = x z - φ y z

De cara já temos que

F x , y , z = 0

Então podemos continuar, a função de zero

Já definimos tudo que precisamos vamos as contas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que temos que fazer para ver se podemos definir implicitamente é fazer F Y e ver se ela é diferente de 0 no ponto que ele deu.

F Y = F z = - x z 2 - φ ' y z y z ' = - x z 2 - φ ' y z - y z 2 = - x z 2 + y z 2 φ ' y z

Vamos agora fazer no ponto x 0 , y 0 , z 0

F Y x 0 , y 0 , z 0 = - x 0 z 0 2 + y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0

Para a função ser definida implicitamente devemos ter

F Y x 0 , y 0 , z 0 0

Logo, devemos ter

- x 0 z 0 2 + y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 0

Passo 3

Temos que achar as derivadas de z em relação a x e y

Para achar a derivada temos que achar agora F X

F X = F x F y = 1 z - φ ' y z y z ' = 1 z - 1 z φ ' y z

Vamos agora fazer no ponto x 0 , y 0 , z 0

F X x 0 , y 0 , z 0 = 1 z 0 - 1 z 0 φ ' y 0 z 0

Passo 4

Vamos ter agora

g ' X 0 = - F Y - 1 . F X

Lembrando que

X 0 = x 0 , y 0

g ' x 0 , y 0 = - - x 0 z 0 2 + y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 - 1 1 z 0 - 1 z 0 φ ' y 0 z 0

Usando álgebra linear vamos ter

g ' x 0 , y 0 = 1 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 1 z 0 - 1 z 0 φ ' y 0 z 0

g ' x 0 , y 0 = 1 z 0 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 - 1 z 0 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 φ ' y 0 z 0

Lembrando que

g ' x 0 , y 0 = z x x 0 , y 0 z y x 0 , y 0 = 1 z 0 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 - 1 z 0 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 φ ' y 0 z 0

g ' x 0 , y 0 = 1 z 0 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 - φ ' y 0 z 0 z 0 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0

Vamos ter

z x x 0 , y 0 = 1 z 0 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0

z y x 0 , y 0 = - φ ' y 0 z 0 z 0 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0

Passo 5

Vamos substituir esses valores que achamos na equação que ele pediu

x z x + y z y = z

Como queremos no ponto x 0 , y 0 , z 0 vamos ter

x 0 z x x 0 , y 0 + y 0 z y x 0 , y 0 = z 0

Substituindo os valores

x 0 1 z 0 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 + y 0 - φ ' y 0 z 0 z 0 x 0 z 0 2 - y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 = z 0

x 0 1 x 0 z 0 - y 0 z 0 φ ' y 0 z 0 + y 0 - φ ' y 0 z 0 x 0 z 0 - y 0 z 0 φ ' y 0 z 0 = z 0

x 0 z 0 x 0 - y 0 φ ' y 0 z 0 + y 0 - z 0 φ ' y 0 z 0 x 0 - y 0 φ ' y 0 z 0 = z 0

z 0 x 0 x 0 - y 0 φ ' y 0 z 0 - y 0 φ ' y 0 z 0 x 0 - y 0 φ ' y 0 z 0 = z 0

z 0 x 0 - y 0 φ ' y 0 z 0 x 0 - y 0 φ ' y 0 z 0 = z 0

z 0 1 = z 0

z 0 = z 0

Isso nos diz que essa afirmação é verdadeira.

Passo 6

b )

Para acharmos o plano tangente basta achar o plano tangente a F , isso vai ser

n x , y , z = n x 0 , y 0 , z 0

Lembrando que o vetor normal vai ser

n = F

Então

n = F x , F y F z

n = 1 z , - 1 z φ ' y z , - x z 2 + y z 2 φ ' y z

Substituindo x 0 , y 0 , z 0 vamos ter

n = 1 z 0 , - 1 z 0 φ ' y 0 z 0 , - x 0 z 0 2 + y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0

Passo 7

O plano tangente vai ficar

1 z 0 , - 1 z 0 φ ' y 0 z 0 , - x 0 z 0 2 + y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 x , y , z = 1 z 0 , - 1 z 0 φ ' y 0 z 0 , - x 0 z 0 2 + y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 x 0 , y 0 , z 0

1 z 0 x - 1 z 0 φ ' y 0 z 0 y + - x 0 z 0 2 + y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 z = 1 z 0 x 0 - 1 z 0 φ ' y 0 z 0 y 0 + - x 0 z 0 2 + y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 z 0

1 z 0 x - 1 z 0 φ ' y 0 z 0 y + - x 0 z 0 2 + y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 z = x 0 z 0 - y 0 z 0 φ ' y 0 z 0 - x 0 z 0 + y 0 z 0 φ ' y 0 z 0

Resposta

b )

1 z 0 x - 1 z 0 φ ' y 0 z 0 y + - x 0 z 0 2 + y 0 z 0 2 φ ' y 0 z 0 z = x 0 z 0 - y 0 z 0 φ ' y 0 z 0 - x 0 z 0 + y 0 z 0 φ ' y 0 z 0

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