Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração Médias no Movimento Circular

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Enunciado

Um bloco de inércia m é preso a um bloco de inércia 2 m por uma corda que passa por um disco uniforme de inércia 4 m e raio R que pode rodar em torno do seu eixo. Inicialmente, o bloco de inércia m é colocado de tal forma que a corda está tensionada. Ignore o atrito entre o disco e o eixo de rotação.

  1. Determine a aceleração angular da polia quando o sistema é liberado.
  2. Se o sistema é liberado a partir do repouso, qual é a velocidade do bloco de inércia 2 m após ele ter descido uma altura h ?

Passo 1

L e t r a   A :

POW! A aceleração angular α pode ser retirada da informação do torque τ na polia...

τ = I d α

Onde I d é o momento de inércia rotacional do disco com relação ao eixo de giro do centro. Pela teoria, para o disco de massa 4 m e raio R ...

I d = 1 2   4 m R 2

Então...

τ = 2 m R 2 α

Mas para retirar a informação de α ainda precisamos saber quem é o torque τ na polia.

Passo 2

Bem, pelo diagrama de corpos livres...

Bem, como a massa 2 m é mais pesada que a massa de um m , a polia tende a girar para a direita, logo T 2 > T 1 (embora não deu para desenhar isso no digrama de forças por que era um trechinho pequeno rsrs).

De acordo então com Newton, para cada bloco a resultante das forças (dado pela massa, vezes a aceleração do conjunto)...

T 1 - m g = m a         ( i )

2 m g - T 2 = 2 m a               ( i i )

POW! T 1 é maior que m g por estar levantando essa massa. Por outro lado, T 2 < 2 m g por esse bloco está descendo.

Passo 3

O torque resultante na polia pode então ser dado pela teoria (soma vetorial de todas as forças vezes o raio)...

τ = T 2 - T 1 R

Pela equação i ...

T 1 = m a + m g

E pela equação i i ...

T 2 = 2 m g - 2 m a

De modo que...

T 2 - T 1 = 2 m g - 2 m a - m a + m g   →

T 2 - T 1 = m g - 3 m a  

Então, o torque rotacional será...

τ = m g - 3 m a R

Passo 4

Retornando para a informação do torque no passo 1...

τ = 2 m R 2 α   →

E substituindo...

m g - 3 m a R = 2 m R 2 α       →

Lembre-se de que a aceleração angular está relacionada com a aceleração normal por α = a / R ...

m g - 3 m a R = 2 m R 2 a R       →

m g - 3 m a = 2 m a       →

5 m a = m g

a = 1 5 g

Logo, a aceleração angular será...

α = a R = 1 5 R g

Passo 5

L e t r a   B :

POW! Podemos usar aqui a equação que relaciona velocidade e deslocamento ∆ x : a equação de Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ x

Como o deslocamento é de h ( ∆ x = h ) e o sistema parte do repouso ( v 0 = 0 )...

v 2 = 2 a h     →

v 2 = 2 5 g h

A velocidade do bloco 2 então após descer a altura h será...

v = 2 5 g h

Resposta

Letra A:

α = 1 5 R g

Letra B:

v = 2 5 g h

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