Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração Médias no Movimento Circular

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Enunciado

Um carro de massa m está fazendo uma curva circular de raio R , que possui inclinação β com o chão. Seja μ o coeficiente de atrito cinético e g a magnitude da aceleração da gravidade. Derive uma expressão para um intervalo de velocidade possível necessário para manter o carro movendo no círculo sem derrapar. Expresse suas respostas através das constantes mencionadas no exercício.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

É um pouco complicado descrever a situação com palavras, a melhor opção é indicar um esquema, temos o seguinte

o quadrado verde acima representa o carro, o plano inclinado representa a nossa curva inclinada, e o carro se move entrando no papel. A situação colocada acima irá nos dar a velocidade máxima que o carro poderá ter sem que ele derrape para cima (efeito da tendência a sair da curva do carro), por isso a força de atrito aponta para baixo! Beleza? Também existirá uma velocidade mínima para o carro não derrapar para baixo da curva, isso inverterá a força de atrito, ou seja, teremos que

Agora será tudo uma questão de aplicar a segunda lei de Newton e obter nossas velocidades! Bora lá!

Passo 2

Vamos achar primeiro a velocidade máxima, para isso, usando a segunda lei de Newton teremos as seguintes equações

N h + f h = m   a c           ( 1 )

em que f h é a componente da força de atrito na horizontal, esse é o plano do movimento circular, por isso estamos considerando a aceleração centrípeta que possibilita a curva! Para o movimento vertical temos

N v - m g = 0           ( 2 )

Através das duas equações acima seremos capazes de obter a velocidade máxima! Vem comigo!

Passo 3

Vamos lembrar algumas definições! Primeiro, temos que aceleração centrípeta é tal que

a c = m   v 2 R

em que v é a velocidade que desejamos! Também temos que

f a t = μ N

em que μ é o coeficiente de atrito. Aqui temos um problema com o enunciado, ele nos indica μ como o coeficiente de atrito cinético, que é em geral menor do que o coeficiente de atrito estático, portanto, não é possível obter uma velocidade máxima (mínima) para o carro não derrapar. Vamos fazer o cálculo como deveria, mas mantenha em mente, que em geral, o carro poderia ir mais rápido ou mais devagar, mesmo sob as condições adequadas apresentadas acima! Vamos continuar a questão!

Passo 4

Usando o esquema apresentado acima, temos que

N h = N   s e n ( β ) e N v = N   c o s ( β )

temos também que

f h = f a t   c o s ( β ) = μ   N   c o s ( β )

Substituindo tudo na equação ( 1 ) temos que

N   s e n ( β ) + μ N c o s ( β ) = m   v 2 R

ou isolando a velocidade, temos que

v 2 =   N R m [ s e n ( β ) + μ   c o s ( β ) ]

Ainda não sabemos quem é a força normal! Vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 5

Usando a equação ( 2 ) e como vimos antes que N v = N   c o s ( β ) , temos que

N   c o s ( β ) = m g

e, portanto, temos que

N =   m g c o s ( β )

e, a velocidade, toma então o seguinte formato

v 2 = ( m g )   R m   ( c o s ( β ) ) [ s e n ( β ) + μ   c o s ( β ) ] = g R [ μ + t a n ( β ) ]

ou, simplesmente

v m a x = g R [ μ + t a n ( β ) ]

Por quê esta é a velocidade máxima? Quando garantimos que o movimento circular seja uniforme, garantimos que o carro não irá deslizar pela pista nas condições dadas. No entanto, colocamos a força de atrito na direção central, portanto, estamos representando a situação em que o carro está tentando deslizar para cima por conta de sua velocidade e o atrito o mantém! Consegue adivinhar qual será a velocidade mínima? Vem comigo!

Passo 6

Analogamente, a velocidade mínima será agora aquela na qual a baixa velocidade faz o carro querer deslizar para baixo, mas note, que o atrito então segurará este movimento, apontando na direção contrária, ou seja, temos o seguinte esquema

e, da mesma forma que fizemos antes, obteremos a seguinte equação

v 2 = g R [ μ - t a n ( β ) ]

e a velocidade mínima é simplesmente

v m i n = g R [ μ - t a n ( β ) ]

o intervalo de velocidades é então dado por

g R [ μ - t a n ( β ) ] ≤ v ≤ g R [ μ + t a n ( β ) ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

g R [ μ - t a n ( β ) ] ≤ v ≤ g R [ μ + t a n ( β ) ]

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