Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração Médias no Movimento Circular

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Enunciado

Uma esfera uniforme de raio R e massa M gira com velocidade angular inicial ω 0 em torno do eixo horizontal que passa pelo seu centro, conforme figura ao lado (eixo saindo do papel). Ela é então colocada, no instante t = 0 , suavemente sobre um piso, cujo coeficiente de atrito cinético com a bola é μ c . Note que no instante inicial em que ela é colocada no piso, ela só possui rotação sem translação (ela está inicialmente só patinando).

b )   Determine o tempo necessário para ela deixar de patinar, e começar a rolar sem deslizar (rolamento suave).

c ) Quando ela atinge a condição de rolamento suave, qual é a velocidade linear do seu centro de massa e sua velocidade angular de rotação em torno do centro de massa?

d ) Qual a energia térmica produzida entre o instante inicial e o instante em que atinge o rolamento suave?

Passo 1

Fala aí pessoal, como vocês estão?

Nessa questão temos uma esfera que está inicialmente girando com velocidade angular ω 0 , quando é colocada na superfície horizontal.

Logo que ela é colocada na superfície ela começa a patinar, pois para que ocorra o rolamento sem deslizamento é necessário que a velocidade do ponto de contato da esfera com a superfície seja zero em cada instante t .

Por outro lado, a velocidade linear do centro da esfera é nula em t = 0 .

Quando a esfera toca o solo, começa a atuar a força de atrito. Ela gerará um torque que irá frear a rotação da esfera, diminuindo a velocidade do ponto de contato com a superfície. Mas, por outro lado, também irá acelerar a velocidade linear do centro de massa.

O rolamento suave irá começar quando tivermos a velocidade linear do centro de massa igual, em módulo, à velocidade do ponto de contato devido à rotação da esfera.

Vem com a gente que vai ficar mais claro 😊

Passo 2

Pra começar, precisamos determinar em quanto tempo a esfera deixa de patinar.

Então galera, como comentamos no passo anterior, a esfera só para de patinar quando a velocidade do ponto de contato da esfera com a superfície se torna nulo.

Como nesse ponto de contato só age a força de atrito, podemos dizer pela 2 ° Lei de Newton que:

F R = F a t = M a

Como na vertical a esfera está em equilíbrio, e só age a força normal e a força peso, temos:

N = P

Logo, a força de atrito cinético, vale:

F a t = μ c ⋅ N

=   μ c ⋅ M g

Logo, temos:

μ c M g = M a

∴ a = μ c g

Beleza! Essa força é contrária à velocidade do ponto de contato. Como ela é a única componente horizontal, dizemos que ela está acelerando o centro de massa da esfera, lhe concedendo velocidade linear.

Assim, podemos escrever a velocidade da esfera quando inicia o rolamento suave como:

v c m = μ c g ⋅ Δ t

Mas, como comentamos, a força de atrito também está produzindo um torque que desacelera a velocidade angular de rotação da esfera segundo a equação:

τ = I c m ⋅ α

O torque da força de atrito é dado por:

τ = F a t ⋅ R

=   μ c ⋅ M g R

Já o momento de inércia com relação ao centro da esfera é dado por:

I c m = 2 5 M R 2

Logo:

τ I c m = α

∴ α = μ c M g R 2 5 M R 2

⇒ α = 5 μ c g 2 R

Logo, sobre a velocidade angular da esfera podemos afirmar quando inicia o rolamento suave, ela vale:

ω f = ω 0 - 5 μ c g 2 R Δ t

Assim, como o ponto de contato vai estar “parado” quando inicia o rolamento, podemos usá-lo como centro instantâneo de rotação. Dessa forma, a velocidade do centro de massa da esfera pode ser escrito como:

v c m = ω f R

∴ v c m = ω 0 - 5 μ c g 2 R Δ t ⋅ R  

Igualando as duas equações que encontramos para a velocidade do centro de massa, temos que:

ω 0 - 5 μ c g 2 R Δ t ⋅ R = μ c g ⋅ Δ t

⇒ ω 0 R = Δ t μ c g + 5 μ c g 2

Logo:

Δ t = 2 ω 0 R 7 μ c g

Muito bom! A primeira parte foi!

Passo 3

Como já temos o tempo Δ t podemos descobrir a velocidade angular de rotação da esfera quando inicia o rolamento pela equação que desenvolvemos no passo anterior:

ω f = ω 0 - 5 μ c g 2 R Δ t

Substituindo o valor de Δ t , temos:

ω f =   ω 0 - 5 μ c g 2 R ⋅ 2 ω 0 R 7 μ c g

=   ω 0 1 - 5 7

Portanto:

ω f = 2 ω 0 7

Muito bom!

Pra calcular a velocidade linear podemos usar o mesmo raciocínio.

Vimos que:

v c m =   μ c g ⋅ Δ t

Substituindo Δ t , temos:

v c m =   μ c g ⋅ 2 ω 0 R 7 μ c g

∴ v c m = 2 ω 0 R 7

(que já era esperado pelo resultado de ω f ) .

Tudo tranquilo até aqui? Vamos pro último itemmm!!

Passo 4

Aqui precisamos calcular a energia térmica dissipada entre o instante inicial e o instante em que inicia o rolamento.

A ideia é usarmos que a variação de energia mecânica do sistema é igual à energia térmica dissipada.

Assim, vamos começar calculando a energia mecânica do sistema em t = 0 .

Como havia apenas rotação da esfera, temos que:

K i = I c m ω 0 2 2

Logo:

K i = 2 5 M R 2 ⋅ ω 0 2 2

Então:

K i = M R 2 ω 0 2 5

Já quando inicia o rolamento suave, temos tanto movimento de rotação como de translação. Daí:

K f = I c m ω f 2 2 + M v c m 2 2

Substituindo os valores que calculamos para ω f e v c m no item anterior, vem:

K f = M R 2 5 ⋅ 2 ω 0 7 2 + M R 2 2 ⋅ 2 ω 0 7 2

= 7 M R 2 10 ⋅ 4 ω 0 2 49

Logo:

K f = 2 M R 2 ω 0 2 35

Daí, usando que:

E t é r m i c a = Δ K

Vem que:

E t é r m i c a = K f - K i

=   2 M R 2 ω 0 2 35 - M R 2 ω 0 2 5

=   - 5 M R 2 ω 0 2 35

Logo:

E t é r m i c a =   - M R 2 ω 0 2 7

onde o sinal negativo indica apenas que essa energia foi dissipada.

Resposta

b ) Δ t = 2 ω 0 R 7 μ c g

c )   v c m = 2 ω 0 R 7   e   ω f = 2 ω 0 7

d ) ��   E t é r m i c a =   - M R 2 ω 0 2 7

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