Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração Médias no Movimento Circular

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Enunciado

Um motor é ligado a um disco homogêneo de massa M   =   3,0   k g e raio R   =   0,20   m (ver Figura 3). Em algumas situações, uma corda ideal enrolada no disco pode ser conectada a um bloco. A corda não desliza sobre o disco. Considere g   =   10   m / s 2 .

(A) (1,0 ponto) Suponha, inicialmente, a situação em que a corda ainda não esteja conectada ao bloco, ou seja, o bloco ainda não se encontra pendurado na figura ao lado. Nesse caso, a tensão na corda é nula. O motor aplica no disco um torque de módulo τ   =   3,0   N   ·   m , em relação ao seu centro, que o faz girar. Escreva a equação de 2ª lei de Newton para o disco e determine a sua aceleração angular α gerada por este torque.

Dado: Momento de inércia de um disco homogêneo de massa M e raio R em relação a um eixo perpendicular à sua superfície e passando no seu centro: I C M   =   M R 2 / 2 .

(B) (1,5 ponto) Considere, agora, que um bloco de massa m   =   0,50   k g foi conectado à corda, como mostra a figura acima. Novamente, o motor aplica um torque τ   =   3,0   N   ·   m , em relação ao centro do disco, que o faz girar, de modo que o bloco sobe verticalmente. Escreva as equações de 2ª lei de Newton para o disco e para o bloco.

(C) (1,5 ponto) Resolva o sistema de equações do item (B) e determine a aceleração angular α do disco e a tensão T na corda.

Passo 1

L e t r a   A :

POW! Vamos imaginar ai o que está acontecendo nesse primeiro momento, beleza?

O problema nos disse que inicialmente não temos a massa conectada no disco...

Relaxa que essa corda que fica é de peso desprezível ;). O que interessa é que você saiba que quando esse motor começa a girar, ele faz um torque τ no centro do disco que gera uma aceleração angular α (o fazendo girar também). A equação que descreve isso é a equação de Newton para a rotação...

τ = I α

Onde I é o momento de inércia do disco com relação ao eixo, saca? Repare que ela é bem parecida com a famosa equação: F = m a . A diferença é que estamos lidando com rotação, então ao invés de força F , devemos falar em torque τ ;)

Para encontrar a aceleração angular α então basta...

α = τ I   →

α = τ M R 2 2   →

Então...

α = 2 τ M R 2

Onde M é a massa do disco e R é o seu raio. O problema nos deu essas informações então é só substituir mesmo...

α = 2 ⋅ 3 3 ⋅ 0,20 2     →

α = 50   r a d / s 2

Passo 2

L e t r a   B :

Nesse caso já podemos e devemos considerar o bloquinho de massa m ...

O problema quer agora que montemos as equações de Newton para o bloco e para o disco. Para isso, vamos antes de tudo desenhar o diagrama de forças nos objetos...

Repare que as forças estão todas aí: o peso do bloco e a tração na corda. Mas ainda está faltando uma coisa fundamental nesse desenho... O que é?

ORA! Está faltando representar também os torques. O motor faz um toque no disco de módulo τ , e a tração T faz outro torque τ T ...

Com o diagrama completo, agora é só escrever as equações baseados na Lei de Newton! Vamos nessa?

Passo 3

Para o bloco, a Lei de Newton é a Lei normal: a soma das forças é igual a força resultante...

F r e s = T - P

E a força resultante é F r e s = m a ...

T - P = m a

Onde a é a aceleração do bloquinho.

O peso P é dado por m g , então...

T - m g = m a

Passo 4

Para o disco...

A soma dos torques tem que ser iguais ao torque resultante...

τ r e s = τ - τ T

E o torque resultante é o momento de inércia vezes a aceleração angular α ...

τ - τ T = I α

Só que o torque τ T feito pela força de tração no eixo do cilindro pode ser obtido pelo...

τ T = T ⋅ R

Então...

τ - T R = I α

Então está aí! As duas Leis de Newton para o conjunto bloquinho e cilindro é...

T - m g = m a τ - T R = I α

Passo 5

L e t r a   C :

Agora é só meter bronca e resolver esse sistema!

T - m g = m a τ - T R = I α

Mas antes, tenha em mente que α , a aceleração angular, sempre pode ser escrita em termos da aceleração tangencial (aceleração que a gente observa no bloquinho a )...

α = a R

Ao passo que também sabemos como se calcula o momento de inércia I do disco...

T - m g = m a τ - T R = 1 2 M R 2   a R   →

T - m g = m a τ - T R = 1 2 M R a  

Isolando T em cima...

T = m g + m a

Substituindo em baixo...

τ - T R = 1 2 M R a     →

τ - m g + m a R = 1 2 M R a     →

τ - m g R - m a R = 1 2 M R a     →

Isolando a ...

τ - m g R = 1 2 M R a + m a R   →

τ - m g R = a R M 2 + m   →

a = τ - m g R R M 2 + m

POW! Conhecemos todo mundo aí pelo enunciado!

a = 3 - 0,5 ⋅ 10 ⋅ 0,2 0,2 3 2 + 0,5

Então...

a = 5   m / s 2

Mas queremos a aceleração angular α . Se lembrando de que α = a / R ...

α = 5 0,2 = 25   r a d / s 2

A tração agora ta fácil neh?

T = m g + m a   →

T = 0,5 5 + 10   →

T = 7,5   N

Resposta

Letra A:

τ = I α       e           α = 50   r a d / s 2

Letra B:

T - m g = m a τ - T R = I α

Letra C:

α = 25 r a d s 2             e                 T = 7,5   N

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