Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Calcule

  1. ∫ γ - 2 x y + x 2 d x + 8 - y 7 d y , onde γ é o gráfico de y = cos ⁡ x , no intervalo - π 2 ≤ x ≤ π 2 , percorrido no sentido de x crescente.

Passo 1

Olá amigo, tudo bem? Yuri aqui e agora iremos calcular essa integral de linha. Antes de tudo, vamos calcular o ratacional de F para que possarmos utilizar o Teorema de Green, pois ele aqui irá nos ajudar bastante. Podemos calcular a integral de linha diretamente? Sim, porém muitas das vezes utilizar o teorema de Green facilita e muito a nossa vida.

r o t   F = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = - 2 x

Beleza, o primeiro passo para se utilizar o teorema de Gree foi dado, agora precisamos criar uma reta que conecte - π 2 a π 2 , pois o teorema de Green só pode ser utilizado em uma região fechada.

Passo 2

Então seja σ ( t ) a nossa reta, a parametrização

σ t = t , 0 ,   - π 2 ≤ t ≤ π 2

E a nossa nova região se torna

- γ ∪ σ

Então, aplicando o teorema para a nossa situação

∫ - γ ∪ σ F ∙ d S = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

∫ γ F ∙ d S = ∫ σ F ∙ d S - ∫ ∫ 2 x d x d y

∫ - π 2 π 2 ( - 2 x t y t + x t 2 ∙ x ' t + 8 - y t 7 ∙ y ' t d t - ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 cos ⁡ x 2 x d y d x

= ∫ - π 2 π 2 t 2 d t - 2 ∫ - π 2 π 2 x cos ⁡ x d x

= 2 t 3 3 0 π / 2

= 2 ∙ π 3 24

= π 3 12

Resposta

π 3 12

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