Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

O trabalho realizado pelo campo F = e x c o s c o s   y   , e x s e n y , 3 sobre um projeto que se move ao longo de uma curva r t = ( c o s c o s   t   , s e n t , 4 t ) onde π 2 ≤ t ≤ 2 π é:

  1. - e + 12 π - s e n 1
  2. 2 e - 4 π + c o s 1
  3. e + 12 π - c o s 1
  4. e - 4 π + s e n 1
  5. 2 e + π - c o s 1

Passo 1

Olá amiguinho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Essa questão é uma questão bem típica de integral de linha, antes de colocar qualquer conta bruta no lápis vamos calcular o rotacional do campo.

O rotacional do campo é calculado porque se ele for 0, temos uma prova que o campo é conservativo e isso vai simplificar nossas contas.

Iae bora lá?

Passo 2

Para calcular o rotacional do campo vamos calcular o determinante da seguinte matriz:

∇ x F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   F x   F y   F z  

Agora substituindo os elementos do nosso campo temos que:

∇ x F =   i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   ∂ ∂ z   e x c o s c o s   y     e x y     3  

Como queremos saber os números que multiplica os versores canônicos ( i , j , k ) , iremos utilizar a regra de Laplace e veremos que o vetor rotacional é ( 0,0 , 0 ) .

Opa, rotacional é nulo. Além disso, vemos que não existe nenhuma descontinuidade no nosso campo F .

Segundo o Teorema de Green podemos afirmar que nosso campo é conservativo.

Sendo assim, temos que:

F = - ∇ g  

Sendo g um campo escalar, chamado de função potencial. Utilizando o campo fornecido temos a seguinte igualdade:

e x c o s c o s   y   , e x s e n y , 3 = - ( ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z )

Portanto temos o seguinte sistema de equações diferenciais:

∂ g ∂ x = - e x c o s c o s   y  

∂ g ∂ y = - e x s e n y

∂ g ∂ z = - 3

Passo 3

Agora precisamos resolver os sistemas de equações para encontrar g , para isso vamos primeiramente integrar última por ser mais simples.

∂ g ∂ z = - 3

g = - 3 z + C

Só que você tem que ligar uma coisinha, lembra o que as derivadas são parciais né?

Então, tanto o x quanto o   y são constantes em relação a z . Aí precisamos escrever a constante de integração assim:

g = - 3 z + C ( x , y )

Agora vamos derivar em relação a y.

∂ g ∂ y = ∂ ( - 3 z + C ) ∂ y = ∂ C ∂ y

Agora vamos igualar a segunda equação:

∂ C ∂ y = ∂ g ∂ y = - e x s e n y

Agora vamos integrar em relação a y, assim temos que:

C = ∫ - e x s e n y d y = e x c o s c o s   y   + C

Lembrando, estamos em relação a y . A constante ainda pode depender de   x portanto temos que:

g = - 3 z + e x c o s c o s   y   + C ( x )

Derivando em relação a x e igualando a primeira equação temos que:

∂ g ∂ x = ∂ C ∂ x + e x c o s y = - e x c o s c o s   y  

Logo, temos que:

∂ C ∂ x = - 2 e x c o s c o s   y  

Integrando em relação a x temos que:

C = - 2 e x c o s c o s   y   + C '

agora podemos afirmar que a função potencial é igual a:

g = - 3 z + e x c o s c o s   y   - 2 e x c o s c o s   y   + C '

realizando as operações, temos que:

g = - 3 z - e x c o s c o s   y   + C '

Passo 4

Agora que temos a função potencial precisamos encontrar o ponto inicial e final da questão.

Para o ponto inicial, temos que t = π 2 . Sendo assim:

r π 2 = c o s c o s   π 2   , s e n π 2 , 4 * π 2 = 0,1 , 2 π = P 1

Já para encontrar o ponto final, vamos aplicar o extremo do parâmetro t . Onde t = 2 π , gerando o seguinte ponto:

r 2 π = c o s c o s   2 π   ,   s e n 2 π , 4 * 2 π = 1,0 , 8 π = P 2

Agora vamos aplicar na função potencial:

g P 1 = - 3 * 2 π - e 0 c o s c o s   1   + C ' = - 6 π - c o s c o s   1   + C '

Aplicando o potencial no segundo ponto:

g P 2 = - 3 * 8 π - e - 1 s e n 0 + C '

Uma vez que o campo é conservativo, o trabalho que é calculado pela integral de linha se torna:

W = ∫ P 1 P 2 F ∙ d r = g P 1 - g P 2 = 18 π + e 1 - c o s ⁡ ( 1 )

Resposta

Acredito que deve ter um erro na resposta, porém a que mais se assemelha é a alternativa c).

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