Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Seja o campo F x , y = x î + y j ^ x 2 + y 2 e γ a curva dada por γ t = e t , sin ⁡ t para 0 ≤ t ≤ π . Calcule ∫ γ F ∙ d r .

Passo 1

Olá amigo, tudo bem? Yuri aqui e agora iremos resolver essa querida questão. Antes de tudo, como temos uma situação de possível uso do teorema de Green, vamos então calcular o r o t   F .

r o t   F = - 2 x y x 2 + y 2 2 - - 2 x y x 2 + y 2 2 = 0

E temos que nesta curva γ t nosso F é conservativo.

Passo 2

Então, podemos aqui utilizar da função potencial de F ( x , y ) para calcular ∫ γ F ∙ d r . Agora é nossa hora de encontrar o potencial.

∇ φ = F ↔ ∂ φ ∂ x = x x 2 + y 2 ∂ φ ∂ y = y x 2 + y 2

Integrando

φ = ∫ x x 2 + y 2 d x = ∫ x u ∙ d u 2 x = 1 2 ln ⁡ u + k y = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + k ( y )

Para

∂ φ ∂ y = 1 2 ∙ 1 x 2 + y 2 2 y + ∂ ∂ y k y = y x 2 + y 2 + ∂ ∂ y k y ↔ y x 2 + y 2 + ∂ ∂ y k y = y x 2 + y 2

Então

∂ k y ∂ y = 0

φ x , y = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + k

Passo 3

Calculando utilizando a função potencial,

∫ γ F ∙ d r = ∫ γ ∇ φ ∙ d γ = ∫ 1,0 e π , 0 d φ

= φ e π , 0 - φ 1,0

= 1 2 ln ⁡ e 2 π - ln ⁡ 1

π

Resposta

π

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