Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Calcule

c) ∫ γ - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 + x y d y onde γ é a fronteira da região no plano determinada pelas desigualdades y ≥ x - 1 e y 2 ≤ x + 1 , orientada no sentido anti horário.

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos calcular a integral linha pelo caminho dado. A primeira coisa que iremos fazer aqui é calcular o rotacional de F,

r o t   F = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 + y - - x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

= y

A região limitada por γ possui uma singularidade em ( 0,0 ) , sendo assim precisaremos retirar essa indeterminação com uma circunferência de parametrização

σ t = r cos ⁡ t , sin ⁡ t

r → 0 +

t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 2

Então pelo teorema de Green, na nossa nova região

∫ γ ∪ σ F ∙ d r = ∫ γ F ∙ d r + ∫ σ F ∙ d r = ∫ ∫ y d x d y ↔ ∫ γ F ∙ d r = ∫ ∫ y d x d y + ∫ σ F ∙ d r

A melhor forma de descrever a região γ é em relação ao eixo x

y 2 - 1 ≤ x ≤ y + 1

- 1 ≤ y ≤ 2

Então,

∫ - 1 2 ∫ y 2 - 1 y + 1 y d x d y = ∫ 1 2 y + 1 - y 2 - 1 y d y = ∫ - 1 2 - y 3 + y 2 + 2 y d y

= - 1 4 2 4 - - 1 4 + 1 3 ( 2 3 - - 1 3 + 2 2 2 2 - - 1 2

= - 15 4 + 3 + 3 = 9 4

Para

∫ σ F ∙ d r = ∫ 0 2 π lim r → 0 + ⁡ - r sin ⁡ t - r sin ⁡ t d t r 2 + r cos ⁡ t r 2 + r 2 cos ⁡ t ∙ sin ⁡ t r cos ⁡ t d t

= ∫ 0 2 π lim r → 0 + ⁡ r 2 r 2 + r 3 cos 2 ⁡ t ∙ sin ⁡ t d t

= ∫ 0 2 π d t = 2 π

Somando tudo

∫ γ F ∙ d r = 2 π + 9 4

Resposta

∫ γ F ∙ d r = 2 π + 9 4

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