Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Verifique se o campo vetorial

F → x , y , z = 2 x y i ^ + x 2 + 2 y z j ^ + y 2 k ^

É conservativo ou não. Caso afirmativo, determine uma função f tal que F → = ∇ f

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu esse campo vetorial

F → x , y , z = 2 x y i ^ + x 2 + 2 y z j ^ + y 2 k ^

E nos perguntou se é conservativo. Mas, como determinar de um campo é conservativo ou não?

Fazendo seu rotacional!

Se o rotacional de um campo vetorial for zero, significa dizer que esse campo é conservativo e que podemos associar a ele uma função potencial do tipo:

F → = ∇ → f

Ou seja, as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais desse potencial!

F x = ∂ f ∂ x   ; F y = ∂ f ∂ y   ; F z = ∂ f ∂ z

Então nossa missão é: encontrar o rotacional de F → , se for diferente se zero ele não é conservativo. Mas se o resultado for o vetor nulo, então aí precisamos encontrar a função f !

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de F → :

F → x , y , z = 2 x y i ^ + x 2 + 2 y z j ^ + y 2 k ^

Lembra que precisamos fazer aquele produto vetorial:

∇ → × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 2 x y x 2 + 2 y z y 2

Agora precisamos resolver o determinante:

= i ^ ∂ ∂ y y 2 - ∂ ∂ z x 2 + 2 y z + j ^ ∂ ∂ z 2 x y - ∂ ∂ x y 2 + k ^ ∂ ∂ x x 2 + 2 y z - ∂ ∂ y 2 x y

= - i ^ 2 y - 2 y + j ^ 0 - 0 + k ^ 2 x - 2 x = 0 →

Tranquilo até aqui?

Como o rotacional desse campo é zero, então sabemos que podemos associar a ele um potencial do tipo

F → = ∇ → f

e nossa missão agora passa a ser encontrar esse f !

Passo 3

Agora vamos igualar nosso campo vetorial às parciais de f :

F x = ∂ f ∂ x   ; F y = ∂ f ∂ y   ; F z = ∂ f ∂ z

E lembrando que nosso campo F → é:

F → x , y , z = 2 x y i ^ + x 2 + 2 y z j ^ + y 2 k ^

Então daqui temos três equações:

∂ f ∂ x = 2 x y

∂ f ∂ y = x 2 + 2 y z

∂ f ∂ z = y 2

Para encontrar a f o método é o seguinte: integrar a primeira equação em x : vamos achar f . Mas como ela é a derivada parcial de f em x , tudo que seria em y , z não está aí!

Aí entra o segundo passo: derivar a f que encontramos em relação a y e igualar com a expressão da segunda equação. E achar quem é a derivada da função “escondida” em y , integrar em y e achar quem é ela. E depois?

Depois repetir esse processo para z . Pois quando encontrarmos para y , ainda podemos ter uma parte em z que não conhecemos.

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 4

Voltando para a parcial de f em x :

∂ f ∂ x = 2 x y

Agora integrando em x vamos ter nossa f :

∫ ∂ f ∂ x d x = ∫ 2 x y d x

f = x 2 y + g ( y , z )

Lembra que quando temos a parcial em uma variável, as outras são tratadas como se fossem números, e, portanto, sua derivada é zero.

Passo 5

Agora que temos a função, nos resta determinar quais são as outras que estão “escondidas”. Vamos derivar nossa f em relação a y :

f = x 2 y + g ( y , z )

∂ f ∂ y = x 2 + ∂ g ∂ y

E agora comparar com a segunda equação que encontramos no passo 3:

∂ f ∂ y = x 2 + 2 y z

Igualando as duas temos:

x 2 + 2 y z = x 2 + ∂ g ∂ y → ∂ g ∂ y = 2 y z

Integrando em relação à y teremos uma das duas funções “escondidas”, e nossa f estará a um passo de estar mais completa!

∫ ∂ g ∂ y d y = ∫ 2 y z

g = y 2 z + h ( z )

Beleza? Sempre que derivamos parcialmente em relação a uma variável, a parte que depende apenas da outra “some”. Nesse caso a função g é de y , z , mas como temos a parcial dela em y , podemos ter perdido alguma coisa que seja apenas de z .

E nossa f era assim:

f = x 2 y + g ( y , z )

E está assim agora:

f = x 2 y + y 2 z + h ( z )

Precisamos encontrar que função é a h ( z ) !

Passo 6

Lembrando que temos 3 equações lá do passo 3, e só usamos 2! Ainda sobrou uma para utilizarmos:

∂ f ∂ z = y 2

Mas a função f que temos até agora é:

f = x 2 y + y 2 z + h ( z )

Então a ideia é derivar em relação a z e igualar com a terceira equação do passo 3.

Vamos lá?

Derivando f em relação a z e igualando:

∂ f ∂ z = y 2 + h ' z = y 2

Daqui temos que

h ' z = 0 → h z = A

Sendo A uma constante!

Por simplicidade podemos dizer que A = 0 ! E agora sim temos nossa função potencial f :

f x , y , z = x 2 y + y 2 z

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Obs.: para verificar se essa função potencial está correta mesmo, verifica se

F → = ∇ → f

Ou seja, aplica o gradiente em f e verifica se o resultado é o campo vetorial dado lá no começo do problema. Se for igual, tua nota 10 está garantida!

Até próxima!

Resposta

f x , y , z = f = x 2 y + y 2 z

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