UFAM– Cálculo 2 – P3 – Questão 7
Verifique se o campo vetorial
É conservativo ou não. Caso afirmativo, determine uma função tal que
Passo 1
Oi, tudo bem?
O problema nos deu esse campo vetorial
E nos perguntou se é conservativo. Mas, como determinar de um campo é conservativo ou não?
Fazendo seu rotacional!
Se o rotacional de um campo vetorial for zero, significa dizer que esse campo é conservativo e que podemos associar a ele uma função potencial do tipo:
Ou seja, as componentes do campo vetorial são as derivadas parciais desse potencial!
Então nossa missão é: encontrar o rotacional de , se for diferente se zero ele não é conservativo. Mas se o resultado for o vetor nulo, então aí precisamos encontrar a função !
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos calcular o rotacional de :
Lembra que precisamos fazer aquele produto vetorial:
Agora precisamos resolver o determinante:
Tranquilo até aqui?
Como o rotacional desse campo é zero, então sabemos que podemos associar a ele um potencial do tipo
e nossa missão agora passa a ser encontrar esse !
Passo 3
Agora vamos igualar nosso campo vetorial às parciais de :
E lembrando que nosso campo é:
Então daqui temos três equações:
Para encontrar a o método é o seguinte: integrar a primeira equação em : vamos achar . Mas como ela é a derivada parcial de em , tudo que seria em não está aí!
Aí entra o segundo passo: derivar a que encontramos em relação a e igualar com a expressão da segunda equação. E achar quem é a derivada da função “escondida” em , integrar em e achar quem é ela. E depois?
Depois repetir esse processo para . Pois quando encontrarmos para , ainda podemos ter uma parte em que não conhecemos.
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 4
Voltando para a parcial de em :
Agora integrando em vamos ter nossa :
Lembra que quando temos a parcial em uma variável, as outras são tratadas como se fossem números, e, portanto, sua derivada é zero.
Passo 5
Agora que temos a função, nos resta determinar quais são as outras que estão “escondidas”. Vamos derivar nossa em relação a :
E agora comparar com a segunda equação que encontramos no passo 3:
Igualando as duas temos:
Integrando em relação à teremos uma das duas funções “escondidas”, e nossa estará a um passo de estar mais completa!
Beleza? Sempre que derivamos parcialmente em relação a uma variável, a parte que depende apenas da outra “some”. Nesse caso a função é de , mas como temos a parcial dela em , podemos ter perdido alguma coisa que seja apenas de .
E nossa era assim:
E está assim agora:
Precisamos encontrar que função é a !
Passo 6
Lembrando que temos 3 equações lá do passo 3, e só usamos 2! Ainda sobrou uma para utilizarmos:
Mas a função que temos até agora é:
Então a ideia é derivar em relação a e igualar com a terceira equação do passo 3.
Vamos lá?
Derivando em relação a e igualando:
Daqui temos que
Sendo uma constante!
Por simplicidade podemos dizer que ! E agora sim temos nossa função potencial :
Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!
Obs.: para verificar se essa função potencial está correta mesmo, verifica se
Ou seja, aplica o gradiente em e verifica se o resultado é o campo vetorial dado lá no começo do problema. Se for igual, tua nota 10 está garantida!
Até próxima!
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais