Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F ⋅ d r , onde C é dada pela função vetorial:

F   ( x ,   y , z )   =   x   î   +   y   ĵ + x y   k , r   ( t )   =   c o s t   î   +   s e n t   ĵ + t   k ,   0   ≤   t   ≤   π

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva r parametrizada pelo parâmetro real t. Para calcular uma integral de linha, precisamos fazer o produto escalar entre os vetores definidos por F a cada ponto com um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva parametrizada, que pode ser escrito como:

d r = d r d t d t

Então, precisamos calcular o vetor velocidade tangente à curva parametrizada derivando as componentes de r(t) em relação à t:

v = d r d t = d d t c o s   t ,   s e n   t ,   t = d d t ( c o s   t ) ,   d d t ( s e n   t ) , d d t ( t )   = ( - s e n   t , c o s   t ,   1 )

Além disso, o campo vetorial F, para cada ponto de coordenadas (x,y,z), nos retorna um vetor de componentes

F ( x , y , z ) = ( x ,   y ,   x y )

Portanto, ao longo da curva r(t), onde os pontos x(t), y(t) e z(t) são dados pela expressão (cos t, sen t, t), temos que os vetores do campo vetorial F assumem a forma

F ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) = c o s   t ,   s e n   t ,   c o s   t   s e n   t

Então, como a integral de linha é a integral do produto escalar de F com dr, temos que a nossa integral de linha pode ser escrita como

∫ 0 π F x ⋅ v x d t + F y ⋅ v y d t + F z v z d t = ∫ 0 π - c o s ( t ) s e n ( t ) d t + s e n ( t ) c o s ( t ) d t + c o s   t   s e n   t ⋅ 1 ⋅ d t

Agora, a gente só precisa integrar a expressão acima. Então vamos lá!

Passo 2

Como o primeiro e o segundo termo da integral são iguais e com sinais opostos, temos que a integral de linha é apenas

∫ 0 π c o s ( t ) s e n ( t ) d t

Sabendo que a derivada de sen²t é 2 sen(t)cos(t), temos que o resultado da integral acima é

∫ 0 π c o s ( t ) s e n ( t ) d t = 1 2 s e n ² t = 1 2 ( s e n ² ( π ) - s e n ² ( 0 ) ) = 0

Portanto, a integral de F ao longo da curva parametrizada por t, de 0 à π é 0.

Resposta

∫ C F ⋅ d r = 0

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