Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Calcule

b) ∫ γ 2 x y 2 x 2 + 1 d x + 2 y ln ⁡ x 2 + 1 d y , onde γ é o arco da elipse 4 x 2 + y 2 = 1 do ponto 0,1 ao ponto 1 2 , 0 percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos calcular essa integral de linha pelo caminho indicado. Antes de darmos inicio de fato a resolução, vamos calcular o rotacional de F e ver o que ele nos reserva.

r o t   F = ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = 2 y ∙ 2 x ∙ 1 x 2 + 1 - 2 x y x 2 + 1 x 2 + 1 2 = 4 x y x 2 + 1 - 4 x y x 2 + 1 = 0

O que acabamos de descobrir é que F é conservativo.

Passo 2

Sabendo disso, vamos encontrar um potencial para F e calcular a integral de forma mais facil.

∇ φ = F ↔ ∂ Q ∂ x = 2 x y 2 x 2 + 1 ∂ Q ∂ y = 2 y ln ⁡ x 2 + 1

Vamos integrar o que for mais facil para a gente

φ = ∫ 2 y ln ⁡ x 2 + 1 d y

φ = y 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + k ( x )

Agora derivando em relação a x

∂ φ ∂ x = y 2 x 2 + 1 ∙ 2 x + ∂ k x ∂ x = 2 x y 2 x 2 + 1 ↔ ∂ k x ∂ x = 0

φ x , y = y 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + k

Passo 3

Utilizando da função que encontramos para calcular a integral

∫ γ F ∙ d r = ∫ γ ∇ φ d γ = ∫ 0,1 1 2,0 d φ

= φ 1 2,0 - φ 0,1

= 0 ∙ ln ⁡ 1 4 + 1 - 1 ∙ ln ⁡ 1

= 0

Resposta

0

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