Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Considere o campo F x , y = c x y î + x 6 y 2 j ^ ,   c > 0 , atuando sobre uma partícula que se move do ponto 0,0 até a reta x = 1 sobre a curva γ , gráfico da função y = a x b , com a > 0 e b > 0 . Determine um valor de c em termos de a e de b para que o trabalho realizado por F seja nulo.

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui. Vamos calcular essa querida integral de linha, caminhando por

0,0 → ( 1 , a )

Porém como queremos caminhar sobre a curva γ , e está é função de y = a x 6 , então

γ t = t , a t b   |   t ∈ [ 0,1 ]

Passo 2

Vamos então calcular

∫ γ F ∙ d γ = 0

Utilizando da parametrização

∫ γ c t ∙   a t b ,   t 6 a 2 t 2 b ∙ 1 , a b t b - 1 d t

∫ 0 1 c ∙ a t b + 1 + a 3 b ∙ t 3 b + 5 d t = 0

Integrando:

c a b + 2 + a 3 b 3 b + 6 = 0

c = - a 2 b 3

Resposta

c = - a 2 b 3

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